中学２年数学　　　
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１章 式の計算	２章 連立方程式	３章 1次関数	４章 図形の調べ方
１節 式の加法減法	１節 連立方程式	１節 1次関数とグラフ	１節 平行と合同
２節 文字式の利用	２節 連立方程式　　　の利用	２節 1次関数と方程式	２節　証明
		３節 1次関数の利用
５章 図形の性質と証明  ６章 確率 　１節 三角形 　１節 確率の意味 　２節 四角形 　２節 場合の数と確率

challenge　   中１の教科書に出題されてました。 　頭を抱えている生徒さんが多かったので、以下に挙げます。 　　６３をできるだけ小さい自然数で割って、ある自然数の２乗にするには 　　どのような数で割ればいいですか？ 　解　６３を素因数分解すると６３= 3²×７なので、 　　　　　3²×７²　７…ans 　  似た問いをもう一題 　　５４０をできるだけ小さい自然数で割って、ある自然数の２乗にするには 　　どのような数で割ればいいですか？ 　解　５４０=２²×３³×５　　　３×５＝１５…ans

　　　　　　中２サミングアップ 問題　　　　　　中1の復習問題

１ 式の計算

問　次の式を解きなさい。 　　①　(－3)2　　　② －42　　③ 10－(－3)2　　④ 12＋(－42)

　答　①　(－3)²＝９　　② －4²＝ －16　③ 10－(－3)²＝１　　④ 12＋(－4²)＝－4

答　(1)x＝y＋10　　　(2) ａ=S/ｂ　　(3) ｒ=ℓ/2π　　(4) y＝ x+ 25　　(5)y＝－3x＋

問２　(　)内の文字について解け 　　(1) x－7y+1=0　[x]　　(2) x+3 y－1=0　[x]　　(3)

　答　　(1)　x=7y－1　　(2)　x=－3 y+1　　(3)　

問３　 a＝－２，b＝３のとき、以下の式の値を求めよ。 　　　　　① ４a－５b－(a－4b) 　　　　　　② ab　　　　　③　(a+b)

　まず、与えられた式を、展開し、まとめてからａ、ｂの値を代入しよう‼

　　①　４a－５b－(a－4b)＝４a－a－５b＋4b＝３a－b
　　 　　３a－b に a＝－２，b＝３の値を代入します。
　　　　３(－２)－３=－６－３＝－９　…答
　　②　S = －3

問４　a＝，b＝のとき、ab－２aの値を求めよ。

　この問題も同じように、与えられた式を展開し、式をまとめてからａ、ｂの値を代入しよう‼

　２節　文字式の利用

問１ 　(1)右のカレンダーにおいて、５つの数をで囲んだとき，囲まれた５つの数の和は５の倍数になっている。このことがカレンダーのほかの５つの数でも成り立つわけを説明しなさい。 　　　　（入試に頻繁に出題される問題です）

　解答　中央の整数をｎとすると、左の数はｎ－１，右の数はｎ＋１，上の数はｎ－７、下の数はｎ＋７と表せる。
　　　　　5つの数の和はｎ＋(ｎ－１)+(ｎ＋１)+(ｎ－７)+(ｎ＋７)=５ｎ
　　　　　ｎは整数なのでｎは５の倍数である。

■連立方程式
　数学は皆さんを苦しめるためにあるのではありません。
　　　　　わたしたちが楽するためにあるのです。

　　例えば小学校で習った「つるかめ算」を解いてみましょう。

【手順1】　つる足の数は2本、かめ足の数は4本。
【手順2】　頭の数の合計50が全てつるだったとします。
　　このとき、足の数の合計は　2×50=100（本）　となり、実際の足の数156本より
　　156-100＝56（本）たりません。
【手順3】つる1羽をかめ1匹に置きかえる。
　　足の数は、4-2=2（本）増えます。
【手順4】足の数を56本増やしてかめの数を求める。
　　足の数を56本を増やすと合計156本になるので、つるをかめに置きかえる数は、
　　　56÷2=28（匹）　かめの数です。　よって、つるの数は　50-28=22（羽）

　ややこしいし、時間がかかります。これを連立方程式で計算してみましょう。
　　かめの数をx匹、つるの数をy羽とおきます。
　　　x＋y=50　　…①　　4x＋2y=156 より　　2x＋y=178…②
　　　①と②の式から、簡単に　x=28,　y=22　　　　　かめの数：28匹　つるの数：22羽

問１　次の連立方程式を解きなさい。　　p22 　①　　　　　②　　　　　　　③ 　④ 　　　　　　 ⑤　　　　　　　　　⑥　 　⑦　　　　　　　⑧

　解説
　　①　　y ＝－２xをそのまま、下の式に代入するのが楽でしょう。

　　　　　　x－ 2(－2x) = 10　　x+ 4x =10　5x =10　x =2
　　　　　　 x =2 を y ＝－2xに代入して　y＝－4　　　x =2，y＝－4 (答)

　　②　　上の式から下の式を引くと y が消えますね。
　　　　　　　　　－x =－14 　x=14　上の式に代入して、－3 y =－21 　y = 7
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x =14，y＝7 (答)

　　③、④も①の問いと同じやり方が楽ですね。

　　　　　　　x＝ 3y−7　　…①
　　　　　　　x＋5y ＝ 9　　　…②　　　①式を②式に代入すると、３y−7+5y=9
　　　よって、　8y=16　　y=2　これを①式に代入すると、x＝－１1
　　　　　　　　　　　x ＝－１1 , y ＝２ 　…答
　　④　x ＝－１ , y ＝２ 　…答
　　⑤　②と同じように、上の式から下の式を引くと楽に解けます。
　　　　解き方は人によって違いますが、できるだけ、式の形から楽な解き方を見つけてください。
　　　　　　　　　x ＝3 , y ＝２ 　…答
　　⑥　x ＝4 , y ＝3 　…答　　　　⑦　x ＝－2 , y ＝5 　…答　　　⑧　x ＝－4 , y ＝3 　…答

問２　次の連立方程式を解きなさい。 　　　　(1)　　　　　　　(2)

答　　　　　(1)　x=－6 , y＝－5　　　　　(2)　
　(1)　①×３　②×４倍して xを １２xにして消去するといいね。
　　　　①×７　②×３　して yを ２1y にして yを消去する方法もあるね。

問３　次の連立方程式を解きなさい。 (1)　　(2)　　(3) (4)　　(5)　　(6) (7)　　　　(8)　 (9)　　　　　　　(10)

■連立方程式の利用(文章題)

　連立方程式を使わなかったら大変だね。楽するのが数学です。問4は、たびたび入試に出題される問題です。

答　問１　(1) x－y＝３…①　(2) ２x＋２y＝１８　x＋y＝９…②
　　　　　(3) 　①，②より　x＝６，y＝３　　Aさん ６本　/ Ｂさん ３本

　　問２　子ども１人の入場料をx円　　おとな１人の入場料を y 円とおく　
　　　　　　　４x＋y＝3800…①　　２x＋2y＝3400は　x＋y＝1700…②　①，②より
　　　　　　　　　x＝７００， y＝１０００　　　こども：７００円　おとな：１０００円

　　問３　ケーキ　３個　　プリン　７個

　　問４　(1) x+ y = ３６０　(2) x/60＋y/80＝５
　　　　　(3) 分速６０m：１２０m　分速８０m：２４０ｍ

　答　　５９　　以下の方程式が成り立つ。
　　　　　　　　　１０x＋y＝４(x＋y)+３　　…①
　　　　　　　　　１０y＋x＝１０x＋y +３６…②　　x＝５, y＝９

　　

　(3) 一次関数のグラフ
　　(ここでは、1年で学習した比例のグラフをyに平行移動したグラフを学びます）

■座標

【復習】 　問１　以下の座標を右の表に書き入れなさい。 　　　Ａ(１,２)　　B(２,２)　　C(３,３) 　　　D(−２,２)　　　E(−３,−３)

答　右の図 　　　Ａ(１,２)　　B(２,２) 　　C(３,３)　　D(−２,２) 　　E(−３,−３)

１次関数のグラフを時間と容器に増えていく水の量で考えてみよう。

最初から10Lの水が入っている容器に、水を１分間に３Lずつ入れていくとき、 ①　容器の水の量と時間はどのような関数で表されるだろうか？ ②　また、どのようなグラフとなるか？ 　時間をx、容器の水の量をyとおき、これらの値はどのように変化していくか、 　　まずは、表で表してみましょう。  時間（分） ０ １ ２ ３ …  容器の水量（L） （　　） （　　） （　　） （　　） … ③最初、水が入ってなかったら、どのような式になりますか？。

解説 　表は以下のようになりますね。 ①１次関数のグラフ ②  時間（分） ０ １ ２ ３ …  容器の水量（L） １０ １３ １６ １９ …   　　式として、y＝３x＋10　　（x軸に時間(分)　y軸に水の量L） 　グラフは傾きが３、切片が10で、おおよそ、右図のように表すことができます。 　　　　但し、x≧０ ③　最初、水が入ってなかったら、y＝3xになりますよね。

■1次関数と方程式

　　　　　１次関数式は で表す。
　　　　　ａ：傾き（比例定数）　または、変化の割合
　　　　　ｂ：切片（ｙ軸と交わるところ）
■変化の割合
　　　変化の割合とは、
　　　「xの値が変化した時に、yの値がどれくらい変化したかを調べ、
　　　　yの変化量をxの変化量で割った値」のことです。

　　　　　　　　＝傾き

まえに学習した座標の図(右図)を使って、変化の割合を考えてみよう。 例えばA(１,２)とC(３,３)で変化の割合はどのようになっているだろうか？ xは１から３へ。yは２から３に変化している。つまり、 　　変化の割合（傾き） 　　　　になります。 　　y＝ax＋b　のaが変化の割合で傾きになります。

　下は　①=２x　②=２+１　③=2x－2のグラフです。
　　　　　
　　　　　①=２x　　　　　　　　　　　②=２x+１　　　　　　③=2x－2
　① y=２x　は傾きが２、原点Ｏを通る直線で、中１で学習しましたね。忘れていたら思いだそう！
　② y=２x+１は傾きが２、切片が１の直線ですね。
　③ y=２x－２は傾きが(　　　)、切片が(　　　)の直線です。（　）内に数値を入れてください。

問１　以下の直線を右の表に書き入れなさい。 　　　① y＝x 　　　② y＝x+2 　　　③ y＝x－2 　④ y＝－ x－2

解答 　　①　中1で学習した原点Ｏ(0,0)を通る y＝ax の式ですね。 　　②　y＝x＋２　は傾きa＝１、切片２の１次関数グラフです。 　　③　y＝x－２ 傾きは①、②と同じ。切片が−２の１次関数グラフ 　　④　y＝－x－２　傾きa=－１、切片−２の１次関数グラフです

問２　以下の直線を右の表に書き入れなさい。 　　　① 　　　　 　② 　　　③ 　　　　④ 　　　⑤

問３　次の直線の式を求めなさい。 　①　x = 1 のとき y = 3 で x = 5のとき　y = −1である直線の式。 　②　変化の割合が ２で x = ２のとき y= 10である直線の式。 　③　グラフの傾きが３で点 (２, ９) を通る直線の式。 　④　グラフが点 (１, ２)と点 (２, ８) を通る直線の式。 　⑤　x = 3のとき y = 1で、x = 5のとき y = 7である直線の式。 　⑥　y =−x+ 9 に平行で x = 1のとき y = 12である直線の式 　⑦　傾きが３で、点(０,２)を通る直線の式。 　⑧　直線 y =３x−２ に平行で、点(４,２)を通る直線の式は 　⑨　右図の直線ℓの式は 　⑩　原点(０,０)と右図の線分ＡＢの中点を通る直線の式は

解説
　①　x = 1のとき y = 3 で x = 5のとき y = −1である直線の式。
　　　 座標(１,３)と(5,−1)で接する直線なので、に代入しましょう。
　　　まず、座標(１,３)を代入　　 　3=(ａ×1) + b　　　3=ａ + b…①
　　　次に、座標(5,−1)を代入　−１=(ａ×5) + b 　−１=5ａ + b…②
　　　　①－②で　4 = −4ａ　ａ=−１　b＝４
　　　　　よって　ｙ＝−x ＋４　(答)

　②　変化の割合が2でx= 2のときy = 10である直線の式。
　　　　　でした。つまり、傾きａのことですね。
　　　変化の割合が２だからｙ＝2x + b になります。
　　　座標(２,10)で接する直線なので、10＝４＋b　　b＝６
　　　　　よって　ｙ＝2x + 6　(答)　傾き２、切片６の直線

　③　グラフの傾きが3で点 (2, 9) を通る直線の式。
　　　　傾きが３だから、y＝3 x + b とおきましょう。
　　　　y＝3 x + b は、点(２,９)を通るので　９＝３×２＋bより、b＝３
　　　　　よって　求める直線の式は　ｙ＝３x ＋３　(答)

　④　グラフが点 (1, 2)と点 (2, 8) を通る直線の式。
　　　　とおく。点(１,２)を通るので
　　　　　２＝ａ　＋b　　…①　　※１ａの１は省略
　　　　　８＝ 2ａ＋b　　…②　　①－②でｂを消去しａの値を求めます。
　　　　　　−６＝－ａ　より　ａ＝６　ａの値を①に代入し、b ＝−４
　　　　　　よって、求める直線の式は　　y＝6 x－４　(答)

　⑤　x= 3のとき y =1で、x= 5のとき y =7である直線の式。

　⑥　y =−x+9 に平行で x= 1のとき y= 12である直線の式

　⑦　傾きが３で、点(０,２)を通る直線の式。
　　　　傾きが３なのでｙ＝３x＋bとおく
　　　　点(０,２)を通るので、２＝ b　切片 b＝２　よって、求める式は y＝３x＋２　(答)

　⑧　直線ｙ =３ｘ−２ に平行で、点(４,２)を通る直線は
　　　　傾きが３なのでy＝３x＋b とおく
　　　　点(４,２)を通るので、２＝12＋b　 b＝−10
　　　　　よって、求める式は y＝３x−10　(答)

⑨　右図の直線ℓの式は 　　　　右図から傾き２　切片４であることが分かる 　　　　　　よって、　y＝ 2x + 4　(答) 　⑩　原点(０,０)と右図の線分ＡＢの中点を通る直線の式は 　　　　　　　ＡＢの中点は(−１,２)　ｙ＝aｘ 　２＝－a 　　　　　　よって　　y＝－2x　(答)

問１　次の中から1次関数をすべて選べ 　① y= －5x－2 　② y = 3x2 　③  　④　　　　⑤12x＋2y－4=0

②は二次関数　④は反比例で１次関数ではない　　　①，③，⑤が１次関数

　　　　① y =－2　　② x ＝７

問２  ①　y=－５x＋３ で、x = 2のときの y の値を求めよ。  ②　y=６x－11 で、x = 3 のときの y の値を求めよ。  ③　y=－x－2 で、x=－8 のときの y の値を求めよ。  ⓸　y=7x＋15 で、x =6 のときの y の値を求めよ。  ⑤　 で、x＝８のときのyの値を求めよ。  ⑥　2x－3y+1=0 で、x = 4 のときの yの値を求めよ。

答
① y=－５x＋３ で、x = 2のときのyの値　y＝−10+３　y＝－７（答）　②　y=６x－11 で、x = 3のときの yの値
　　　　y= 18－11＝７（答）
③　y=－x－2 で、x=－8 のときの yの値を求めよ。　y=8－2 より　y＝６（答）

解答　　(1)　ｙ＝２ｘ＋４
　　　　　(2)　ｙ＝−３ｘ＋ｂ
　　　　　　　　　−２＝（−３）×２＋ｂ　　　−２＝−６＋ｂ　ーｂ＝－６＋２　−ｂ＝－４　ｂ＝４
　　　　　　　　　ｙ＝−３ｘ＋４　　


　　　まず、y＝ax+b とおきましょう。
　　　　　　(2)一次関数の場合、変化の割合は傾きです。

問４　問３で求めた式を下の図に書いてみましょう。 　　　① y=２x+４　　② y=－２x＋２　　③　y=－２x＋９

解答 ① y=2x＋4は 　切片が４、傾きが２の式 ② y=－3x＋4は 　切片が４、傾きが－３の式 ③y=－2x＋9は 　切片が９、傾きが－２の式

■共有点

解説 　２直線の式を連立方程式とみて、 　連立方程式 　　y＝x－1…① 　　y＝－x+３…②　を解くと、 　　　　x＝2,　y＝1　　交わった点（２，１）

答　　
　　　　①　２x＋３＝－x－３　から　３x＝−６　x＝－２, 　y = －１　　答　(－２, －１)
　　　　　　　※　ｙ＝２x＋３　…①　　y＝－x－３　…②　の連立方程式で解いてもOKです。

　　　　②　−２x＋３＝－５x＋６　から　３x＝３　x＝１，y＝１　　答　(１, １)

■連立方程式の利用

　　以下の問いは福岡県公立高校入試の問題です。(2020年)

【右図１】はＡプランをグラフに表したものです。１カ月に分通話したときの電話料金を円とし、通話時間が０分から90分までのとの関係を示しています。 　次の(1)～(3)に答えよ。 (1) Ａプランについて、電話料金が3,000円のときの通話時間を求めなさい。

　解説　(1)　Ａプランの基本料金は1,200円、それに通話料を加算した価格が3,000円なので、
　　　　　　　　（グラフより基本料金を加えた料金は60分までで3,600円）　60分内ということが分かります。
　　　　　　　　通話時間を分とおくと、基本使用料＋４０＝３０００　　１２００＋４０＝３０００　　＝４５　　　４５分　（＜６０）

(2) 【右図２】はＢプランをグラフについて通話時間が０分から90分までのとの関係を表したグラフを、図１に書きいれたものです。 　以下はＢプランについてとの関係を表した式です。 Ｂプランについてとの関係を表した式 　の変域が０≦≦20のとき、＝2300であり、 　の変域が20≦≦90のとき、＝a+b(a,bは定数)である。 　　ただし、＝60のとき、＝3300である。 【右図２】をもとに、以下の表の(ア),(イ),(ウ)にあてはまる数を、それぞれ答えよ。 Ｂプラン (ア)円  (イ)分までの時間は無料 (イ)分をこえた時間は１分あたり(ウ)円

　　解説(2)　　(ア)　Ｂプランの基本料金は右のグラフより2,300円であることが分かります。　　2,300円　…答
　　　　　　　　 (イ)　右のグラフより２０分であることが分かります。　　　　２０分　…答
　　　　　　　　 (ウ)　グラフより２０分以上の傾きを座標から考えます。(６０−２０)、つまり40分で(3300－2300)＝１０００なので、
　　　　　　　　　　　　1分あたり１０００/４０＝２５　　　２５円…　答

(3)　Ｃプランの電話料金は通話時間が９０分のとき4,350円である。 　　通話時間が６０分から９０分までの間で、Ｃプランの電話料金がＡプランの電話料金より安くなるのは、通話時間が何分をこえたときからか求めよ。　解答は右の条件Ⅰ～Ⅲにしたがってかけ。	【条件Ⅰ】　ＡプランとＣプランのそれぞれについて、グラフの傾きやグラフが通る座標を示し、との関係を表す式を書くこと 【条件Ⅱ】　条件Ⅰで求めた２つの式を使って答を求める過程をかくこと
Ｃプラン 3,900円  ６０分までの時間は無料 ６０分をこえた時間は、１分あたり一定の料金がかかる

解説(3)　実際にグラフ上に書き込んでみましょう。Ｃプランで60分以上90分以下の通話時間を(分)とおく。60≦≦90 　Ａプランはグラフより(60,3600),　傾きが３０なので 　＝３０＋ｂより　３６００＝３０×６０＋ｂ　　ｂ＝１８００ 　　　　 　＝３０＋1800…① 　Ｃプランはグラフ上の座標(60,3900),　(90,4350)を通るので 　　　　　＝１５＋3000…② 　　①，②より　＝８０　　通話時間が８０分をこえたときから　…答

問２

■平行と合同　　　　　

復習問題　下の図の角度のことをそれぞれ何角といいますか？ 　　　　　　　　　　　 　　　　①　　　　　　　　　②　　　　　　　③

　①対頂角　②同位角　③錯覚

　　　　一般的に②，③は平行な線で出題されることが多いです。

問１　ｘ、ｙの角度を答えなさい。 　　　①　 　　　　②　　　　　③

　① x＝５０°②１８０－(４２＋３１）＝１０７°　③x＝６９° y＝６７°)

問２　ℓ ∥ m のとき、∠x、∠y の大きさをそれぞれ求めなさい。 　　　①　　　　②　　　③

　　① x＝６０°y＝６０°　②４０°　　　③ x＝１００°，y＝６０°

問３　ℓ // m のとき、，∠ y の大きさをそれぞれ求めなさい。 　　　①　　　　②　　　　　③

　答　①　２８°　　　②５２°

こうした問題は線を補うことにより、簡単に解決することがあります。

■多角形の角

　▲三角形の内角と外角
　　　

ΔABCに、辺BCの延長CDを引きます。 　　　CからAB∥CEの直線CEを引きます。以下の問いをやってみよう 　①∠a＋∠b＝（∠　　　　　）で三角形の1つの外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しいから。 　②∠b＝と等しい角は（　　）で （同位角/対頂角/錯覚）であるから。 　③∠a＝と等しい角は（　　）で （同位角/対頂角/錯覚）であるから。

　答　　 ①　∠ＡＣＤ （または∠d＋∠e）　　∠ＤＣＡでも可
　　　　　②　∠e　で同位角
　　　　　③　∠d　で錯覚　

　▲多角形の角

　　　　　

　　　　n角形の内角の和= 180°×(ｎ−２)　　しっかり覚えておこう‼

　答
　　　(1) 180×(5−2)= 540°
　　(2)正八角形の内角の和は＝1080°なので、1つの内角の大きさは１３５°

問１　 次の①～④の ∠x の大きさを求めなさい。
①	②正六角形
③ ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ	④

答　①８５°②３０°③３３°④５６°(下図参考)

　　

■合同
　　　・　合同とは、「2つ以上の図形がピッタリと重ね合わせられるときの関係」をいいます。
　　　・　合同を数式で表すときは、「≡」を用います。
　　　・　合同な図形は対応する「角」「辺の長さ」が等しくなる。

　▲三角形の合同証明　

　　　以下の３つの合同条件は必ず覚えること

　①　３組の辺がそれぞれ等しい。

　　　

　②　２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
　　　

　③　１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
　　　

右の三角形と合同な三角形を下のアからエまでの４つの中から１つ選び、合同条件を書きなさい。

答　　ア　　まず、求められる角度は図に書き込もう。

解答　まず、求められる角度は図に書き込もう。



アとカ 合同条件：３辺がそれぞれ等しい
イとオ 合同条件：２辺とその間の角がそれぞれ等しい
エとク 合同条件：１辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

問　下の直角三角形△ABC，△GHIと合同な直角三角形は。 　　またその時に使った直角三角形の合同条件を答えなさい 　　△ABC≡ △（　　　　　　　）　合同条件（　　　　　　　　　　　　　　　　　） 　　△GHI ≡ △（　　　　　　　）　合同条件（　　　　　　　　　　　　　　　　　）

　　△ABC≡ △（QRP）　合同条件（斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい）
　　△GHI ≡ △（LKJ）　合同条件（斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい）　　　　　　　　　　　　　　　　　）

例題１ 　ＡＢ＝ＣＢ、ＡＤ＝ＣＤのとき∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤであることを証明しなさい。

　　知りえた情報(データ)は図に書き込みましょう。
　　　　　△ＡＢＤ≡△ＣＢＤ(△ＢＡＤ≡△ＢＣＤでもＯＫ）であることを証明したのち、
　　　　　∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤであることを証明します。 

【証明】 △ABDと△CBDにおいて 　仮定より AB=CB…①, AD=CD…② 　BD=BD(共通)…③ 　　　3組の辺がそれぞれ等しいので 　　　　△ABD≡△CBD 　　合同な図形の対応する角は等しいので 　　　　∠BAD=∠BCD

問１　右図でＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢならば、 　　　△ＢＡＣ≡△ＣＤＢであることを証明しなさい。

知りえた情報(データ)は図に書き込みましょう。

証明 △BACと△CDBにおいて 　　　仮定より　AB=DC 　　　仮定より　AC=DB 　　　BC=CB (共通) よって３組の辺がそれぞれ等しいので 　　　　　△BAC≡△CDB

問２　右図でＡＤ＝ＡＥ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＢのとき、 　　　△ＡＣＤ≡△ＡＢＥであることを証明しなさい。

[証明]　△ACDと△ABEにおいて AD=AE　(仮定) ∠ADC=∠AEB(仮定) ∠DAC=∠EAB(共通) よって１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ACD≡△ABE

ハイブリッド数　ｐ１１０

△ABCで、AD=DB，DE∥BC，DF∥ACのとき、DE＝BFであることを次のように証明する。括弧内にあてはまる記号や式、ことばを書きなさい。 　　△ADEと△DBFにおいて、 　　　仮定より　　 AD=DB……① 　　　DE∥BCより，∠ADE＝∠（　ア　　）……② 　　　DE∥BCより，∠DAE＝∠（　イ　　）……③ 　　　　①，②，③，より（　　ウ　　　　）がそれぞれ等しいので 　　　　　△ADE≡△DBF　　　よって、（　　エ　　　）

[証明]
　　△ADEと△DBFにおいて、仮定より　　 AD=DB……①

　　DE∥BCより，∠ADE＝∠（　DBF　）……②
　　DE∥BCより，∠DAE＝∠（　BDF　）……③
　　　①，②，③，より（１組の辺とその両端の角 ）がそれぞれ等しいので
　　　　　△ADE≡△DBF　　　よって、（　DE＝BF　）

ｐ５８　サミングアップ

例題２　右図のようにＡＤ∥ＢＣである台形ＡＢＣＤの対角線ＡＣの中点Ｏを通る直線が、辺ＡＤ，ＢＣと交わる点をそれぞれＥ，Ｆとする。ＡＥ＝ＣＦを次のように証明した。□をうめなさい。

答
　①∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ　　②∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ　　③１組の辺とその両端の角

　　　　注)　∠ＯＥＡ＝∠ＯＦＣも確かに等しいのだが、「１組の辺とその両端の角」を満足させないので
　　　　　　合同の証明の対象にはなりません。

問３　右図のようにＡＤ∥ＢＣである台形ＡＢＣＤの対角線ＡＣの中点Ｏを通る直線が、辺ＡＤ，ＢＣと交わる点をそれぞれＥ，Ｆとする。ＡＥ＝ＣＦを証明しなさい。

　上の例題と同じ問題です。


　▲直角三角形の合同
　　・斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
　　・斜辺と他の１つの鋭角がそれぞれ等しい

問１　図の直角三角形でＡＢＣで斜辺ＡＣ上にＢＣ＝ＤＣとなる点Ｄをとり、Ｄを通りＡＣに垂直な直線とＡＢとの交点をＥとする。△ＢＣＥ≡△ＤＣＥを証明せよ。

　証明　△ＢＣＥと△ＤＣＥで
　　　　　仮定より∠ＥＢＣ＝∠ＥＤＣ＝９０°　…①
　　　　　ＢＣ＝ＤＣ　…②
　　　　　ＥＣは共通　…③
　　　　　　①，②，③より直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので△ＢＣＥ≡△ＤＣＥ

問２　図のように、正方形ＡＢＣＤの頂点Ｂを通り辺ＡＤと交わる直線mに、Ａ，Ｃからから垂線をひき、ｍとの交点をそれぞれＥ，Ｆとする。ＡＥ＝ＢＦを証明せよ。

証明　△ＡＢＥと△ＢＣＦで
　　　　　仮定より　∠ＡＥＢ＝∠ＢＦＣ＝９０°　…①
　　　　　ＡＢ＝ＢＣ　…②
　　　　　　次に∠ＡＢＥと∠ＢＣＦについて
　　　　　　　∠ＡＢＥ＋∠ＦＢＣ＝９０°…③
　　　　　　　∠ＢＣＦ＋∠ＦＢＣ＝９０°…④
　　　　　　③，④より∠ＡＢＥと∠ＢＣＦ…⑤　がいえる。
　　　　　　①，②，⑤より直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので
　　　　　　　　△ＡＢＥ≡△ＢＣＦ　　　　よって、ＡＥ＝ＢＦ

問３　右図で点D，EはそれぞれAB，AC上の点で、BEとCDの交点をPとし、AB＝AC，AB⊥CD，AC⊥BEである。 このとき、以下の証明をしなさい。 　　(1) AD＝AE 　　(2) △BDP≡△CEP

解答　　必ず、分かった情報は図に書き込みましょう。
　　

(1)　ＡＤ＝ＡＥ　の証明 　　　　△ＡＢＥと△ＡＣＤ において、 　　　　仮定より、 　　　　ＡＢ＝ＡＣ　　・・・① 　　　　∠ＡＥＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°　　・・・② 　　　　共通な角なので、 　　　　∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ　　・・・③ 　　　　(1)，(2)，(3)より、斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので、 　　　　△ＡＢＥ≡△ＡＣＤ 　　　　合同な図形の対応する辺は等しいので、　ＡＤ＝ＡＥ (2)　△ＢＤF≡△ＣＥF 　　　　△ＢＤFと△ＣＥF において、 　　　　仮定より、ＡＢ＝ＡＣ 　　　　(１)より、ＡＤ＝ＡＥなので、 　　　　ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ　　　　　　ＥＣ＝ＡＣ－ＡＥ 　　　　　　　ＤＢ＝ＥＣ　　・・① 　　　　仮定より、　　　∠ＢＤF＝∠ＣＥF＝ ９０°　　・・・② 　　　　(１)より、　　　　∠ＤＢF＝∠ＥＣF　　・・・③ 　　　　①，②，③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、 　　　　　　　　△ＢＤF≡△ＣＥF

　・長方形とひし形の特徴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　長方形：対角線の長さが等しい　　ひし形：対角線が垂直に交わる



　　　

■確率　

　確率は以下の順番で解決していこう。

　　①樹形図をかく　　　②すべての場合の数を調べる
　　③あることがらの場合の数を調べる
　　④確率を公式で計算　　

　　　　　　約分するのを忘れないで。確率の値は１以上になることはありません

　

例題　ＡＢＣ３枚のカードを並べるとき、ＢとＣが隣り合わせになる確率について考えてみよう。	やなど
解説） 　まず、①樹形図をかいてみよう（左図） 　　②すべての場合の数は左図から６通り　ですね 　　③あることがらの場合の数を調べる。ここではＢとＣが隣り合わせだから（赤で囲った）　４通り 　　④確率を公式で計算　４/６＝２/３　(3分の2)	図１図２

　答）　練１）　①１/２　②１/３　５と６の2通り　　③１/３　　　　　練２）　２/５　　　　　練３）１/２
　　　　　　　

練４）答　１/４ 練５）答　ジョーカーを除く52枚のトランプから１枚のカードを引くとき、 　　①　７のカードを引く確率　　４/５２＝１/１３ 　　②　絵札を引く確率　　　　１２/５２＝３/１３   　　　　　１３×４種類＝５２枚　　　　　　絵札１２枚

問２答　　５/３６　　　図１，２どちらでも良いですね。  図１　　 　　　大きい方のサイコロを中心に書いています

図２

　問３　　　２/７

　確率などに強くなるには数多くの問題に接し、慣れることです。

解説
　①　全ての場合の数は５枚。１〜５のうち奇数は１,３,５の3枚だから、確率は３/５。

　②　全ての場合の数は５枚引き、続けて４枚引くので５×４＝２０通り。
　　　そして、連続して奇数となるのは、(1,3), (1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)の６通りです。
　　　　　　（難しかったら、樹形図を書いてみましょう）
　　　つまり２０通りのうち、奇数が６通りなので、確率は６/２０。約分をして、答えは3 /10。

解説　−　右の図を参考　− 起こりえるすべての場合の数は４通り。 　①２枚とも表の場合は１通り 　　よって１/４　 　②表と裏が１枚ずつ出る場合は２通り。 　　よって１/２

　解説　
　　(1)はすぐに分かるが、この場合、樹形図を書いてみよう。
　　　　　　(1)すべての場合の数は１２通り。
　　　　　　　　　　　　　　　　　答　　　　(1)　　　　(2)　

解説
　樹形図を書いてみよう。下の図から、全ての場合の数は１０になるね。

　
　(1)　　　(2)　　(3)