数B　第1章　数列　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る
　目次　　　　　作業中

　　　公式の復習

　公式は丸暗記するのではなく、どのようにして導かれたのかという公式の成り立ちを理解し、
その上で暗記することが大切です。
　また、数列では、一般化したnの式が求まった後、n=１、n＝２など簡単な数字を代入し、
　問題と矛盾してないか確認してみましょう。

　数列｛an｝とは

　　　数がある規則に従って横１列に並んでいるものを数列という。
　　　　a1　a2　a3　……　an　an+1……を、数列｛an｝で表す。

　　 a1は１番目の数で初項といい、anはn番目の数で第n項といいます。
　　　ポイントは数の並び方の規則性を考えることです。
　　　中学で学習した基本的な問題から学習していきましょう。

　(1) 正の偶数でn番目の数は２nです。つまり、an＝２n　　答
　(2) 正の奇数でn番目の数は２n－１です。つまり、an＝２n－１
　　　　　２n＋１も奇数になりますが、初項が１だからNGですね。

問　次の数列｛an｝の第n項anをnの式で表せ。

　答　分母：n番目の数は２n
　　　 分子：分子は分母より１大きい数
　　　　したがって　（２n＋１）/２n　答


　
■等差数列
　　等差数列｛an｝の一般項
　　　　　以下に、公差ｄの等差数列｛an｝があります。
　　　　　　 a1，a2，a3，a4，……an-1，an，……
　　公差　　　+d +d　+d　　　　　　 +d
　　　n　　　　　 １　　2　　 3　　　　　　　　n−1

　　　　a2はどのように表すことができますか？
　　　　a2 = a+d　のように表すことができますね。以下、
　　　　a2 = a1+d,　　a3 = a1+2d ,　　a4 = a1+3d

　　これより、第n項の値は以下のようになります。

公式

公式①

　　※一般項は、初項から公差を( n－１) 回加える

　　大切な公式ですので、しっかり理解しておいてください。
　　　※anをnの式で表したものを一般項といいます。
　

　解説）
　　　　an=a1+（n−1)でしたね。

　　代入すると、
　　　an＝２＋（nー1）×６＝６n－４　答

　解説）　初項を a，　公差をd とおくと、

　　　第４項が１４　であるから　１４＝a＋（４ー1）d　　　a＋３d　＝１４　…①
　　　第１０項が６２であるので　６２＝a＋（１０ー1）d　　a＋９d　＝６２　…②
　　　　①，②から　　a　＝ −１０　，　d　＝８　　　よって、一般項は
　　　　　an= −10+（n−1)・8　　　　よって一般項は、　an= 8n−18

例題２　次の等差数列の第３１項を求めなさい。

　解き方
　　　公差は　　ですので、　an＝a1+(n−1)d より
　　　　　a31＝３＋(３１−1)× ＝ －１２　(答)

　それでは問題をやってみましょう。

　答　(1) 3, 5, 7, 9, 11

　　　(2) ３から始まる奇数ですね. an=a＋(n－1)d
　　　　　an=３＋２(n－1)=２n＋1

　　　(3）an＝a1＋(n−1)d より
　　　　　an＝９＋(n−1)×(－５) =－５n＋１４(答)

　この場合、a1とｄをの簡単な連立方程式になります。
　　　an＝a1＋(n−1)d より
　　　a3 ＝ ２から　２＝a1＋(３－1)d　
　　　　　　　　　　　２＝a1＋２d　…①
　　　a15 = 62から　62＝a1＋(15－1)d
　　　　　　　　　　　62＝a1＋14d　…②
　　①、②の連立方程式から①－②
　　　　　　　　　　－60＝－１２d　d＝５（答）
　　　d＝５を①式に代入して　２＝a1＋10　よって、a1 ＝－８（答）

　答　　an＝a1＋(n−1)d 　より
　　　　　a5 ＝３０なので　　３０＝a1＋４d　…①
　　　　a12 ＝ ２なので　　２＝a1＋１１d　…②
　　　　　　　　　　　２８＝－７d　d＝－４
　　　　　　②に代入
　　　　　　　　３０＝a1－１６　a1＝４６
　　よって、
　　　　a20＝４６＋１９×(－４)＝－３０　　a20 ＝－３０　（答）

　　　　

・等差数列｛an｝の和
　　公差がdの等差数列｛an｝の、初項から第n項までの和を
　　　Sn = a1＋a2＋a3，……＋an とする。以下の公式が成り立ちます。
　　　重要な公式ですので、しっかり自分のものにしてください。

　　　初項がa1　末項がan、項数がnであるような等差数列の和は

公式２

公式②

　　　で表せる。　※　anは末項　
　　　　末項が分かっている場合で公差は未定です。
　　　　大切な公式ですので、しっかり自分のものにしてください。 

　　公式②に代入　Sn　=｛(２＋１４)×５｝÷２＝４０　（答）

　解答
　　　(1) 1 から 50 までの自然数の和は
　　　　　　

　　　(2) 1 から 100 までの偶数の和は
　　　　　２＋４＋６＋……＋98＋100
　　　　　　初項 ２、末項 １００、項数 ５０なので、
　　　　　　

　　　(3) ２桁の３の倍数の和は
　　　　　　初項 が12 (3×4)、末項が99 (3×33)なので、
　　　　　　項数は33－4＋1= 30だから
　　　　　　　　…　答

　　　　考え方：(3)の項数を求め方
　　　　　

　　　　さらに、末項が分からない場合の公式を考えてみましょう。
　　　　　初項２，公差３の等差数列の，初項から第５項までの和Sを求めることを考えてみよう。
　　　　　S＝２＋５＋８＋１１＋１４…①　和の順序を逆にします。
　　　　　S＝１４＋１１＋８＋５＋２…②　Sの値は変わりません。　①＋②を計算します。
　　　　　２S＝ (２+１４)+ (５+１１)+ (８+８)+ (１１+５)+ (１４+２) = ５×１６　（　）内の和はすべて１６になります。
　　　　　　よって、S= (５×１６)/２＝４０　

　　　　　ここで初項a1，末項を仮にl，項数nの等差数列の公差をdとします。一般に、
　　　　初項a1 から第n項 lまでの和を Sn と表すと、次のようになります。
　　　　　　　2Sn = n( a1+l )　　　
　　　　この式に公式①　l = a1+(n−1 )d　　　[an＝a1＋(n−1)d] を代入すると、
　　　　以下の公式③が成り立ちます。

公式③

　　初項、公差、項数が与えられたとき（anの値が与えられていない）の初項a1から（第n項）anまでの和

　　　　この公式③を覚えなくても公式①と公式②から導きだせますね。
　

解答
　(1)　


　(2)
　　　第１０項の値は　公式① an＝a1＋(n−1)d から
　　　　=｛２＋（１０－１）×３｝＝２９　　よって、

　１から始まるn個の奇数の和は　１＋３＋５＋７＋……＋(2n－1)
　　初項１，末項(2n－1) ，項数nの等差数列の和であるので、
　　　よって　１＋３＋５＋７＋……＋(2n－1)＝n²…答

基本問題

解答
　(1)　an＝a+(n－1)d より
　　　　　an＝3+(n－1)×４＝4n－1　　4n－1＝47　n＝12　12項…答

　(2)　２k＝４＋６k　より　k＝－１…答
　(3)　an＝a+(n－1)d より
　　　　　　　a+９d ＝３１　…①　　a+２４d ＝７６ …②　　　①から②を引くと、
　　　　　　　　　d ＝３,　a ＝４　　an＝4+(n－1)×３＝３n＋１　…答


　　
　■等比数列　　

　　　等比数列の一般項
　　　　隣り合う項の比が等しい数列。この比を公比といい一般的にｒで表す。

　　　　

　　　ｎ番目の項anは初項a1に公比r を(n−1) 個 かけた数であるから、

公式３

　　　　　　an＝a1・r⁽ⁿ⁻¹⁾　……　　公式３　が成り立つ。

例題１　初項が 3、公比が 2で考えてみよう。第５項、第６項は？ 　　　　　　 　　　　　第５項＝４８,　第６項＝９６ 　　　　　　３　６　12　24　48　96　…　an＝a1・r(n−1)式に代入すると 　　　　　an＝3×2(n−1)　 　　　　　　　n=5のとき　a5＝3×2(5−1)　= 48 　　　　　　　n=6のとき　a6＝3×2(6−1) =９６

　　第２項が６、第４項が２４だから
　　　　初項と公比が分かれば、一般項　an＝a1・rⁿ⁻¹　が求められます。
　　　　　初項をa、公比をr とおくと、
　　　　　　第2項が６であるから　arⁿ⁻¹=ar²⁻¹= ar =6 　…①
　　　　　　第４項が２４だから　arⁿ⁻¹= ar³=24　…②
　　　　　　　　②÷①より　r=±２
　　　　　　r=２のとき　a=３　，　r=− ２のとき　a =−３
　　　　　したがって、一般項は an＝３・２ⁿ⁻¹ 　または　an＝−３・(−２)ⁿ⁻¹
　　　　　第６項はa6＝３・2 ⁶⁻¹　または　a6＝−３・(−２)⁶⁻¹
　　　　　　　　　　a6＝３・2^５ =９４　初項(−３)，公比(−２)も同じ９４

　　(1) 一般項：　an＝3・2⁽ⁿ⁻¹⁾　　第６項：a6＝９６
　　　　　　　公式が多いようですが、多くの問題を解くことで、自然に慣れていきます。

　　(2)　n = 4　　135＝a1・3⁽⁴⁻¹⁾ ＝ 48　より a1 ＝ 5
　　　　　よって、一般項：an＝5・３^(n－1)
　　　　　　　　　　　　　　第６項：　a6＝ ５×２４３　a6＝1215　答

　　(3) ６=２４・r^(3－1)より　　r^２＝６/24　r=±1/2　問題よりr<0
　　　　　一般項：第６項　

　　(4) 第２項が１２、第５項が ９６
　　　　　初項をa、公比をrとおくと　ar= １２　… ①
　　　　　　　　　　　　　　　　ar⁴= ９６　… ②
　　　　②÷①よりr³＝８　　　　　r=2　a＝６
　　　　　一般項：　an＝６・２⁽ⁿ⁻¹⁾　　第６項： a6＝１９２

■等比数列の和
　　公式４
　　　　初項a, 公比r, 項数nの等比数列の和
　　　　　r≠1のとき　　　　…公式
　　　　　r＝1のとき　　　Sn＝na
　　実際にやってみよう
　　　

　　　公式より　　　＝９３

　　確認してみよう。　　３，６，１２，２４，４８　だから　３＋６＋１２＋２４＋４８＝９３　

　　　　公式より　　　 ＝２×８０＝１６０　(答)

問２　初項８,公比の等比数列の初項から第６項までの和S6は

答　　　　



■いろいろな数列　
　　ここでは主に和の省略記号Σ　と階差数列を学びます。
　　◆和の記号Σ　　　　


　和の公式
　　　　　

　　　　出題率高い

　　まず等差数列の和をΣで学習しましょう。
　　例１　数列の和３＋３＋３＋……＋n＝ 3nと表します。[公式(1)]
　　例２　数列の和１＋２＋３＋……＋n＝ kと表します。[公式(2)]

　　　　　たとえば１から１０まで足すと５５になりますね。
　　　　　　公式(2)を使って計算してみましょう。k　ですね。公式(2)を使って、
　　　　　　{１０×(１０+１)}を２で割ると５５

　　　　　それでは１から１００まで足していくといくつになるでしょう。
　　　　　　　{１００×(１００+１)}を２で割ると５０×１０１＝５０５０
　　　　　　　　ある意味で、このように私たちを楽にするのが数学です。

　　　例３　数列の和１²＋２²＋３²＋……＋n²＝ k²と表します。[公式(3)]

　　　　　　たとえば１+４＋９＋…を５桁まで足してみましょう。　１+４＋９＋１６＋２５＝５５になります。

　①　2k 　　② n(n+1)　　で、公式(2)を使うといいですね。
　　　　　・３項までだと単に計算して12　・n(n+1)に代入すると３×４＝１２
　　　　　・４項までだと　２+４+６+８=20　・式でも４×５＝20でOKですね。

　　　　このように問題ごとにどの公式を用いるか判断することが大切です。

それでは公式(3)を、実際の数を代入して確かめてみましょう。頻繁に出題される公式です。 　　　 　は　　 　　　　　　n＝３とおいて計算してみましょう。初項１で第３項まで。 　　　　　　＝１＋４＋９＝１４　公式に代入すると(３×４×７)÷６＝１４

　　　　　　　　公式はしっかり押さえておきましょう❕❕

　　k²　　k≠１で表した場合の答です。それでは、以下の問３をやってください。

　　　　　２²＋３²＋４²＋５²＋６²　で
　　　　k＝１から始めるには、文字式が(k+1)²　となり、項数も５項までになりますね。
　　　　　　(k+1)²　　問２の答えは本Σ式でもOKです。　　　　　

問４　次の和を求めなさい。 　　　　　①　　　　　　②

　①　上の公式(2)より　＝・１５・(１５＋１)＝１２０（答）

　②　上の公式(3)より　＝　・８・(８＋１)・(１６＋１)＝２０４（答）
　　　　　　　　　　　　　

■Σの性質
　　　　　(1) 　　(2)　　　ｃ：定数
　　　

例　次の式を具体的な和の式で表し、値を求めよ。 　　　　　　　　(1)　　　　　　　(2)

　解答
　　　(1)　(２k－１)は足し算される数の形
　　　　　　　k＝１,２,３,４,５,６を２k－1に代入
　　　　　与式＝１＋３＋５＋７＋９＋11　(答)　　36になります。

　　　（２）k＝２,３,４,５,６,７を３kに代入
　　　　　与式＝６＋９＋１２＋１５＋１８＋２１　(答)　　８１

　　＝nである。　右に説明します。　＝c+c+…+c=nc　(c=1)

　　(１)１＋２＋３＋……＋n ＝

　　(２)１・２ + ２・３ + ３・４ + ４・５ + ５・６ =　

問２　次の数列の和を求めなさい。 　　　　①(４k＋３)　　②　3k　　　　　③５　　　④　５ (n≧２)

　　　　①(４k＋３)＝n(2n+5)　　　　　　　　②　3k　＝n(n-1)
　　　　④＝n でしたね。　　　　　　　　①５＝５(n−１)

問２　次の和を求めなさい。　ｐ23

　Σの性質(1)と(2)から 　　　（ｃ：定数）

　公式　を使う。

　　　＝４＋　＝４×n(n＋１)＋n= 2n(n＋１)＋n
　　　　　=2n(n＋１)＋n=2n²＋3n=n(2n+3)　　　　はn

・なぜ　はn　になるのだろう。まえに説明しましたが、ここで確認してみよう。 　　　　　　 　　　　＝c+c+…+c=cn　(ｃ：定数)　　※＝n　(c=1)　　１をn個足すので、その総和はn 　・では、k=0 のときは　 　　　　　　　※０番目の１が加わる

Σの計算問題
　　　　

　　　　　　　　　　　作業用

練習問題２　　次の和を求めなさい 　　　① k　　　　② k　(n≧3)　　　　③ (k+1)　　　　　④

答
　　① n(n+1)　一般の公式　　② (n-2)(n-1)　　一般の公式と違うのはn−２ですね。
　　③ (k+1)＝　が０から始まっています。k＝０を忘れないよう！

　　　　　　　　=1+ (k+1)＝ 1+n(n+1)+n={(2+n(n+1)}
　　　　　　　　＝(n+1)(n+2)
　　④　k＝k−k＝　n(n+1)−　・3・(3+1)＝　(n−3)(n+4)
　　

　初項a, 公比r (r≠1)の等比数列の初項から第n項までの和の公式は以下のようになります。
　　　

　　　　　　　そのまま計算すると　３＋６＋１２＋２４＝４５
　　　　　　　式に代入すると　　３(２⁴−１)= ３×１５=４５　で左辺＝右辺

　　　　　　　第５項までやってみよう　３＋６＋１２＋２４＋４８＝９３
　　　　　　　式に代入すると　　３(２⁵−１)= ３×３１=９３　で左辺＝右辺

　　　４(２⁶−１)= ４×６３=４５　２５２（答）

問３　次の和を求めなさい。　　　　　　　(2)計算間違いのないように 　　　(1)　　　(2)　　　　(3)

　　　(1)　＝９００

　　(2)　 ＝１７０

　 (3)　　公式　初項a, 公比r (r≠1)の等比数列の初項から第n項までの和の公式は２ ４ ８　16
　　　　　　　　　　　　　初項２　公比２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２ ４　８
　　　　　　　公式　でしたね。
　　　　　　　　　　　　k＝１のとき２^k=２ だから初項２。公比２，項数１０の等比数列の和になります）
　　　　　　　　　　　　　　　２＋４＋８＋１６＋…＋第10項

解説

　{an}：5, 11, 21, 35, 53 …
　　　　　6　10 　14　18
　　ここで{an}の階差数列を{bn}とすると、
　{bn}は初項６，公差４の等差数列であるから、公式①より、
　{bn}＝6+4(n−1)=4n+2　　　　
　　　　n≧２のとき　an=a1 +bk　
　　　　=5+(4k+2)= 5 + 4k +2

=5+2n(n−1)+2(n−1)=2n²+3

n=1のとき　2n²+3＝５　初項は５であるのでn=1のときも上式は成り立つ。
　したがって　　an=2n²+3 (答)

問　次の和を求めなさい。ｐ２２ 　　　　①　　　　　　　　　　　②

　①　　　　　　３の０乗は１だから、初項１。　公比=３，ｎ項

　②　　　＝　　＝ ６３　　　初項３，公比２，６項

ｐ２４から

下の５つの公式はしっかり押さえておこう！
　　　　　
　　　　　　　　
　　　
　　　　　　　初項a 公比rの等比数列の総和の公式

　(3),(4)の公式は直感的な理解が難しく、丸暗記したほうが早いです。

解答
　　　(1) (2k+1) = 2k + 1 = 2×n(n+1)+n= n(n+2)

　　　(2)(6k²−4k−5)= 6k²−4k −5

　　　　=６×n(n+1)(2n+1)−4×n(n+1)−5n= n(n+1)(2n+1)−2(n+1)−5n
　　　　= n(2n²+n−6)= n(n+2)(2n−3)　…答

　まず、数の並び方の規則性を考えることです。
　すべて２乗で、３, ５, ７, ９, １１, １３に着目します。
　奇数なので２k－１、２k＋１のように表せます。
　初項は３ですので、（２k＋１）²　…答


　

■階差数列と数列の和
　　階差数列とは　数列｛an｝の隣り合う２つの項の差　bn=an+1−an
を項とする数列｛bn｝を、数列｛an｝の階差数列といいます。
　

　　例えば　｛an｝: 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37…の階差数列は以下
　　　

　となり、｛bn｝は初項１、公差２の等差数列になります。

　｛an｝:　１, ３, ７, 13, 21…
　｛bn｝:　　２　4　6　８

　　　bn=２n　よって、数列｛an｝の第６項は　(階差数列式 bn=an+1−an)より　　　　　　　
　　　a6−a5＝b5　　　a6=a5＋b5＝21＋２×５＝31　　　(bn=２n　から　b5＝１０)

ｐ８８
　数列｛an｝の階差数列を｛bn｝とすると、
　　n≧２のとき、　

　この式はn≧２のとき、制限付きなので注意しましょう。
　　n=1のときΣ記号がk=1から０までの和となってしまい、
　　数列の和　　のΣによる計算ができないからです。
　　n=1のときは、求めた一般項にn=1を代入し、必ず確認しましょう。

　数列{an}の隣り合う２つの項の差bn＝an+1−an　(n=1,2,3,…)を項とする数列{bn} を、
数列{an}の階差数列といいます。
　また数列{an}の階差数列を{bn} とすると、
　　n≧２のとき一般項はでしたね。それでは実際にやってみよう。

　an＝１, ３, ７, 13, 21,…
　bn＝　２　4　6　８　となり、これは初項２，公差２の等差数列ですね。

　　　bn=２n　したがって、
　　　n≧2のとき　an＝a1+bk＝１＋２k
　　　　=1＋２k＝　1＋２・(n−１)n
　　　=n²−n+1　左式に　n=1 を代入すると初項＝１で左式は成り立ちます。
　　　　　36−6+1=31　　３１になりますね。

　　ちなみに第７項を求めてみよう。
　　　　an＝１, ３, ７, 13, 21, 31, □…
　　　　bn＝　２　 4　 6　 ８　 10 　12　で□内は４３になりますね。
　　上のn²−n+1に代入すると、第７項なので　４９−７＋１＝４３でOKですね。
　　　第７項までは普通の計算で解けますが第５０項や７，８0項となるとそうはいきませんね。