確率　あることがらの起こりやすさの度合いを数値で表します。
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目次
　１　確率の定義　　２　確率の計算　　３　独立な試行の確率

　４　反復試行の確率　　５　条件付き確率　

　中学でも学びましたが、ここで簡単な例をあげましょう。

１個のサイコロを投げるとき、２以下の目が出る事象Aの確率 P(A)を求めてみましょう。
　　※P(A)のPは確率を意味するprobabilityの頭文字です

　サイコロの目は１～６までですから６通り。
　そのうち２以下の目が出るというのは１か２の目の２通り。
　したがって求める確立は
　　　P(A)=２/６=１/３　　です。これは試行回数を多くすればするほど、
　　　　事象Aの起こる割合が１/３に近づくということです。

確率の定義



　なんだかややこしい定義ですね。でも、日本語で書いた右辺（起こりうるすべて…）の
考え方は大切ですので、しっかり意識しながら前に進みましょう。

　　多くの問題を解くことで確率に慣れましょう。
　　まずは、中学で学習した簡単な問題からやってみましょう。

２　確率の計算　加法定理　余事象の確率

　答）　練１）　①１/２　②１/３　５と６の2通り　　③１/３
　　　　練２）　２/５　　練３）１/２　　　練４）１/４
　　　　練習５)　①４/５２＝１/１３　　②１２/５２＝３/１３
　　　　練６）　起こりえるすべての結果は４通りであり、
　　　これらは同様に確からしい。そのうち２枚とも表が出るのは１通りで
　　　あるから、求める確率は１/４
　　　　　　　　　　以下の表以外に、樹形図を用いてもいいですね。

　　　練７）　5/36
　　　練８）６人全員の並び方は６！　A,B以外の４人の並び方は４！
　　　　　　　よって　４！/ ６！　　　　　１/30（答）
　　　練９)1,、2、3、4、5の数字のから重複を許して4桁の整数を作るときに
　　　　1200より大となる確率を求めてみよう

　　　解説）重複を許すので，千･百･十･一それぞれの位に，1,、2、3、4、5の5種類の数字どれでも
　　　　入れることができる。したがって全ての並べ方は5×5×5×5×＝5⁴通りになります。
　　　　次に、 1200より大となる確率は，1200より小さい確率を出し，1(全体)から引く。
　　　　 千の位と百の位がともに１のときのみ(例えば1199,1198,1197･･･)，1200より小さくなる。
　　　　　千の位と百の位がともに１のとき，残りの十の位と一の位の数字の並べ方は5²通り。
　　　　　よって1200より小さくなる確率は，5²/5⁴=1/25 よって求める確率は 1－1/25=　24/25…答
　　　　　　以下、問３も類似問題です。

　確率などに強くなるには数多くの問題に接し、慣れることでしょう。
　それでは、以下の問いにチャレンジしてみてください。

　答）　問１：　2/7　　簡単ですね。考えましょう。

　　　　問２：　赤白５個の玉から３個の玉を同時に取り出す方法は　₅C₃ 通り
　　　　　　　　「赤玉２個、白玉１個を取り出す」事象をＡとすると、
　　　　　　　　事象Ａが起こる場合の数は、Ｐ(Ａ)＝₃Ｃ₂×₂Ｃ₁　＝６通り
　　　　　　　　　よって、求める確率Ｐ(A)= (₃Ｃ₂×₂Ｃ₁) / ₅C₃ = ６/１０= ３/５

　　　　問３　①　(１,２,３,４)　で各1回ずつ使う組み合わせは、４！=２４通り。
　　　　　　　 　このうち、偶数になるのは、 (1,2,3,4)では奇数と偶数の出現率は同じなので、
　　　　　　　　４！/２=１２通り なので　１/２

　　　　　　　②偶数のうち、2000未満になるのは先頭の数が1の場合を引いてみよう。
　　　　　　　　先頭が1の偶数は1｛頭は1で固定｝×2｛1の位は2or4｝×2!｛残りの桁｝=4
　　　　　　　　 ですから、12-4=8（通り）　8/24=1/3

　　　　　　　　説明）　2134,2314,3124,3214,3142,3412,4132,4312だけですから。
　　　　　　　　　　　したがって2000以上の偶数となる確率は、8/24=1/3

　　　　問４　赤白６個の玉から２個の玉を同時に取り出す方法は　₆C₂ = １５通り
　　　　　　　　① 白玉２個を取り出す事象が起こる場合の数は₂Ｃ₂ = １　よって、１/１５…　答
　　　　　　　　② 赤玉２個を取り出す事象が起こる場合の数は₄Ｃ₂ = ６　よって、６/１５…　答
　　　　　　　　③ 「赤玉１個、白玉１個を取り出す」事象が起こる場合の数は(₄Ｃ₁×₂Ｃ₁ ) / ₆C₂ = ８/１５

　２．確率の基本性質

　　2.1 積事象と和事象
　　　２つの集合Ａ，Ｂは以下のようにＡ∩Ｂ、Ａ∪Ｂで表せる。

Ａ∩Ｂ　共通部分 「ＡとＢの共通部分」といい「ＡかつＢ」で集合ＡとＢの重なった部分の集合
Ａ∪Ｂ　和集合 「ＡまたはＢ」で集合ＡとＢの要素すべて

　一般に２つの事象Ａ，Ｂに対して、
　　ＡとＢがともに起こる事象をＡとＢの積事象といい、Ａ∩Ｂで表す。また、
　　ＡまたはＢが起こる事象をＡとＢの和事象といい、Ａ∪Ｂで表す。

　例をあげよう。
　　１個のさいころを投げるとき、
　　　　「偶数の目がでる」事象Ａ　｛2,4,6｝
　　　　「５以上の目がでる」事象Ｂ　｛5,6｝
　　　　　　ＡとＢの積事象は　Ａ∩Ｂ=｛6｝
　　　　　　ＡとＢの和事象は　Ａ∪Ｂ=｛2,4,5,6｝

　　　答）Ａ=｛3,6｝　Ｂ=｛1,2,3｝
　　　　　　積事象 Ａ∩Ｂ={3}　和事象 Ａ∪Ｂ={1,2,3,6}

　２.２ 確率の加法定理　
　　　　排反事象
　　　　　１個のさいころを投げるとき、「奇数の目がでる」事象をＡ
　　　　　「６の目がでる」事象をＢ　とすると
　　　　　　Ａ=｛1,3,5｝　Ｂ=｛6｝であるから
　　　　　　　ＡとＢの事象は同時に起こらない。
　　　　　　このように２つの事象ＡとＢが同時に起こらないとき、
　　　　　　　ＡとＢの積事象は空事象であるから　Ａ∩Ｂ=Φ　であるとき
　　　　　　　ＡとＢは(Ａ∩Ｂ=Φ)は排反事象である　という。

　　　　１等が当たる事象をA，２等が当たる事象をB　とすると、事象Aと事象Bは互いに排反である。
　　　　よって、求める確率 P（A∪B）は
　　　　　P（A∪B）＝P(A)＋P(B)＝1/10＋ 2/10＝ 3/10

　　２人とも男子が選ばれる事象をA、　２人とも女子が選ばれる事象をB　とすると、

　　P(A) = ₆C₂/₁₀C₂=15/45　　　　P(B) = ₄C₂/₁₀C₂ =6/45　

　　　２人とも男子、または　２人とも女子が選ばれる事象はAとBの和事象A∪B。
　　　　（AとBは互いに排反である）
　　よって求める確率は P（A∪B）＝P(A)＋P(B)＝ 15/45＋6/45＝ 21/45= 7/15
　
■一般の和事象の確率
　　P(A∪B)＝P(A)+P(B)ーP(A∩B)　　（下図参照）
　　　　　

引いたカードの番号が 　　「４の倍数である」事象をA 　　「６の倍数である」事象をB　とすると、 　　　　A = ｛4,8,12,16…48｝　　　　B = ｛6,12,18,24,…48｝ 　　　　　n(A) =12 　n(B) = 8

　積事象A∩Bは４と６の最小公倍数12の倍数である事象だから
　　A∩B = ｛12,24,36,48｝の４通り。
　　n(A) =12 　n(B) = 8 　n(A∩B) =4　よって、
　　P（A)=12/50 　P(B) = 8/50 　P(A∩B) =4/50　　したがって、求める確率 P（A∪B）は
　　 P（A∪B） = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 12/50＋8/50 - 4/50= 16/50 =8/25

　カードの番号が６の倍数　n(A) =８ 　カードの番号が６の倍数　n(B) =６　であるから、
　　8/50＋6/50-2/50=12/50= 6/25…答　

　　P(A∪B)＝P(A)+P(B)－P(A∩B)
　　　　　
　　　　　6の倍数　6,12,18,24,30,36,42,48
　　　　　８の倍数　８,16,24,40,48　　２つ重なる分を引きます。


■余事象とその確率
　全事象をUとし、事象Aに対し「Aが起こらない」事象をAの余事象（）という。
　余事象の確立　P() = 1 - P(A)　または　P(A) = 1 - P()

　３の倍数である事象をAとすると、３の倍数でない事象は余事象であるので、
　P(A) = 3/10　｛3,6,9｝　よって求める確率は
　P() = 1 - 3/10= 7/10

　P(A)= 6/25　　　P() = 1 - 6/25 = 19/25

　「少なくとも１個は赤玉をである」とは、
　「赤玉が１個または２個、または３個すべてが考えられる。
　そのまま考えたら難しい。そこで、
　「少なくとも１個は赤玉である」は「３個すべてが白玉にならない」つまり、
　「３個とも白玉になる」取り出し方を求める余事象の考え方で解決する。
　「少なくとも１個は赤玉である」事象をAとすると、
　　「３個とも白玉になる」は（余事象）で、求める確率P(A)は
　P(A) = 1- P()　で求める。　
　７個から３個取り出す取り出し方は ₇C₃= ３５通り
　このうち３個とも白玉になる取り出し方は _4C3= ４通り
　事象が起こる確率　P（）= ４/３５ よって
　P(A) = 1 - 4/35 = 31/35

　問１）₉C₃ =84通り　　赤玉のみは₅C₃ =10

　　　　P(A)=1-10/84= 1 - 5/42 = 37/42 (答)

　問２）₁₀C₃ =120通り　　すべてはず₇C₃ = 35通り

　　　　P(A)=1-10/84= 1-35/120 =85/120 =17/24 (答)



■独立な試行とその確率

　「一枚の硬貨を投げる」試行と「一個のさいころを投げる」試行において、
それぞれの出方は互いに影響を及ぼさない。
　このように２つの試行において、一方の試行の結果が他方の試行の結果に
影響をおよぼさないとき、この２つの試行は互いに「独立である」という。
　互いに独立な試行SとTにおいて、
Sで事象Aがおこり、Tで事象Bがおこる確率は、 　　P(A) × P(B)

　さいころで偶数の目が出る確率は１/２
　硬貨で裏が出る確率は１/２
　　２つの試行は互いに「独立である」ので、求める確率は
　　　１/２×１/２ = １/４

　　　１/２×２/３ = １/３

　引いたくじを元に戻すので、２人の試行は「独立である」
　Aさんが当たる確率は　３/１０
　Bさんが当たる確率も　３/１０　よって
　　２人とも当たる確率は　３/１０×３/１０ = ９/１００　答

　　（１）　３/８ × ３/８ = ９/６４
　　（２）　３/８ × ５/８ = １５/６４

■反復試行の確率
　　　多少難しいかもしれませんが、ここでは、何回もくり返して行う試行での確率を
　　計算する方法を考えてみましょう。
　　

　３回投げるとき、１の目が２回だけ出る事象は下の表のように　₃Ｃ₂　=３通りであることがわかります。
　１回の試行で１の目が出る確率は１/６　他の目が出る確率は５/６　１以外の目を×で表すことにします。

1回目	２回目	３回目	確率
		×	×　×　＝　×
	×		×　×　＝　×
×			×　×　＝　×

復習問題

　男子を○、女子を▲と置いてみましょう。　○▲○▲○
この場合、○には男子３人、▲には女子２人しか入れないので、３!×２!=１２
男女が交互に並ぶのは１２通りあります。
　確立は対象の個数/全体ですので、12/120 = 1/10　　(5!＝１２０)

　問２　男子を○、女子を▲と置いてみます。
　　【男子4人女子3人の計7人が1列に並ぶ時、男女が交互に並ぶ確率】
　　　　　○▲○▲○▲○　右のよう並べばいいので、
　　　　　その並び方は男子の順番が４! 通り、女子の順番が３! 通り。
　　　　　あわせて４!×３! = 144 通り
　　　　　全ての場合の数が ７! = 5040 通り　　よって確率は
　　　　　　144/5040 = 1/35　…答


　問３【男子4人女子4人の計8人が1列に並ぶ時、男女が交互に並ぶ確率】
　　　　　○▲○▲○▲○▲　または▲○▲○▲○▲〇
　　　　　どちらかの並び方をすればいいです。
　　　　　このどちらも、並び方は男子の順番が４! 通り、
　　　　　女子の順番が４! 通り。あわせて４!×４! = 576 通り
　　　　　図のようにパターンが二つあるので、あわせて576×2 = 1152通り
　　　　　全ての場合の数が 8! = 40320 通り　よって確率は
　　　　　　1152/40320 = 1/35　となります。

　　　　　男子を○　女子を▲で表示します
　　　　　　　　 ○○
　　　　　　▲　▲　▲　▲　　　①▲　②▲　③▲　④▲ ⑤
　　　　　上図の①から⑤までのように5通り女子の間に入れます
　　　　　男子２人が並ぶ　２！　　女子４人が並ぶ　４！
　　　　　　全体６人の並び方　６！　よって　２！×５×４！
　　　　　　　６！/(２！×５×４！)　　答


■条件付き確率　　　　

　白球である事象をA　　　　　　　　　　　　Page５０
　奇数がかいてある事象をB　とする。
　このとき　白球で奇数がかいてある事象