１節　整式・分数式の計算　　　　　　　　戻る

　目　次

　　　３．高次方程式　剰余の定理と因数定理

　x²=−１の１つの解 を虚数単位といい、iで表します。
すなわち
　　i= つまり　　i²=−1

　さらに、x²−2x＋５＝０　すなわち(x−1)²= −4 のような２次方程式では
　　x−1=±√−4
　　x−1=±2i　　x= 1±2i　　になります。

次の式を計算しなさい。 　　①　　② 　　③ 　　④ 　　⑤

問１ 以下の計算をやってみよう。 　　①2i＋３i＝　　　②2i−３i＝　　③−2i−３i＝　　④2i×３i＝ 　⑤2i÷３i＝　　　⑥

　答　　① ５i　　② −i　　③ －５i 　④ －６　⑤　２/３

　　　　　⑥　

問２　次の計算式を簡単にしなさい。

　答　(1) 　 (2)　 (3) 　(4)
　　　(5) 　　※　以下、の有理化と同じ考え方で解けますよ。

　　　　(6)　　　(7) 　　(8)



　　（判別式）
　

　高校２年で二項定理を学習します。
　そのまえに、以下の因数分解を理解しておく必要があります。
　数学の基礎中の基礎で、非常に大切です。マスターしましょう。

　中3で習った乗法公式です。非常に大切な公式なので、忘れた人は思い出そう。
　　

　２次の乗法公式（復習）

展開　　　　　　　　　　　　⇆　　　　　因数分解

復習問題１　次の２次方程式を因数分解し、の値を求めなさい。

　答
　　


　　多少難しくなりますが、続けて以下の２次方程式を解いてください。

　復習問題２

答
　

上の式は中学で学習した公式です。思いだして、（１）から（２）まで 　やってみましょう。 　　　（１）　　（２） 　　　（３）

　答　（１）（２）　　

　　　　（３）　　√の中がマイナスになりますね。虚数です。

　判別式と解の種類
　　　　　解はどのようなものか、実数解が±の２つなのか、
　　　　　√の中が０でしたら±以降が０ですので、実数解が１つになり、
　　　　　√の中がーでしたら虚数解になりますね。
　　　　　つまり√、根号の中の式の値により解の種類が判別できます。
　　　
　　
　　

問１　次の２次方程式の解を判別しなさい。 　　 　 問２

　　答
　　　問１(1) D=１７より異なる２つの実数解をもつ
　　　　　(2) D=１２　より異なる２つの実数解をもつ
　　　　　(3) D=－１１　より異なる２つの虚数解をもつ
　　　　　(4) D=0より重解をもつ

　　　問２
　　　　　　　



　　　の解は　

　　この２つの解の和と積の関係はどのようになるでしょう。

　　　

　　　　一般に次の式が成り立ちます。

　　公式
　　　　

　　例　の２つの解をα、βとするとき、
　　　　αとβの和と積は次のようになります。
　　　　　和はα＋β＝　積はαβ＝

問１　２次方程式　の２つの解をα、βとするとき、 　　　次の値を求めなさい。 　　　　　(1) α2β+αβ2　　　　　(2)

　　答　　(1)　３０　　　(2)　６/５

問２　２次方程式　の２つの解をα、βとするとき、 　　　次の値を求めなさい。 　　　　　　　　　(2) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　(5) α2β+αβ2

　　解答　α＋β＝２　αβ＝　より

　　　　　＝　αβ＋２(α＋β)＋４

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…答


　　　　　 (2) = (α＋β)^２ー２αβ＝４－３＝１　…答

　　　　　 　　　　…答


　　　　　　　…答


　　　(5) α²β+αβ²＝αβ(α＋β)＝３　　…答

　解答
　　　和　(２＋√5)+(２ー√5)=４
　　　積　(２＋√5)(２ー√5)=４－５＝－１　だから、
　　　　　　　　　

問４　２次方程式　 の２つの解をα、βとするとき、 　　　α＋２，β＋２を解とする２次方程式を１つ求めなさい。

　　　　答　



■

　
　　　　　

　因数定理を用い、具体的な数値でやってみよう。　　　　　

例　を因数分解してみましょう。

　　まず、　　とおきましょう。
　　　　ですので、（－２）が因数になります。よって、
　　　　　　　　(－２)(－3)(－1)　…答

　　　今回、P(2)から始めましたが、P(1)＝０から始めたほうが楽ですね。

問　因数分解しなさい

　とおく
　　　　　，ではＰ()=0にならないね。
　　　　　ですので、（－２）が因数になりますね。
　　　　　　
　　　　…答
　　　　　　　　　３つの因数に分解できました。

例１　以下の方程式を解いてみよう

　ヒント　に１を代入、ＮＧならー１…。解決する糸口が見えてきます。

　　　　　　＝－１, 2±2√２…答

１節　式と計算
　１　３次の乗法公式と因数分解

　公式を確認してみよう

　　を
　　　　のようにして展開し、確かめてください。

　同様に以下の公式をも確かめてください。
　　　
　　　
　　　

　　上の式の反対、因数分解はよく使いますので、ここで形として覚えてしまいましょう.。
　　問題を数多く解答することで、公式になれることが大切です。

それでは下の公式を展開、または因数分解してみましょう。

　解答
　

　２　二項定理
　　二項定理はやのような２項の累乗の式、つまり

　を展開をするときに大変便利です。（各項の係数を求めるとき）

　
　　　係数で考えてみましょう。

　　　　の係数は1a、１ｂで係数は　１　と　１　（上のパスカルの３角形でｎ=１のとき）

　　　　　の係数は
　　　　　　　ですから　１　２　１　（ｎ=２のとき）

　　　

　　　　　　　　係数は1　３　３　１　（ｎ=３のとき）

　　　係数の変化にある一定の法則が考えられますね。
　　　ｎ乗で考えてみましょう。以下のようになります。

　　において、係数だけを左から　(aの次数の高い順に）

　　■　パスカルの三角形

n=０のとき 　 n=1　　〃　　 n=２　〃 　 n=３　〃 　 n=４　〃

つまりパスカルの３角形から以下の形になります。



　　ただ、パスカルの３角形は書くのに大変?
　　そこで、以下のやり方をお勧めします。

　　　　　　　　1　　１
　　　　　　　　　 　１　　１
　　　　　　　 １　　２　　１ 　　　　　２乗
　　　　　　　　　　 １　　２　　１
　　　　　　　 １　　３　　３　　１　　　３乗
　　　　　　 　　　　１　　３　　３　　１
　　　　　 　　１　　４　　６　　４　　１　　４乗


　　といった具合に右へ１つずつ移動させるとやり易いですね。

・　　係数は　　　　１, ２, １ 　＝＋(２×３)＋３2　　= ＋６＋9 　　------------------------------------------------------------- ・　　係数は　　　　 １,３,３,１ 　＝＋(３) ×３ ＋(３) ×(３)２　＋(３)３ 　＝＋９＋２７＋２７ 　　-------------------------------------------------------------- ・　係数は　　　　１,４,６,４,１ 　＝＋４×３1 ＋６×３２＋４×３３＋３４ 　＝＋１２ ＋５４＋１０８＋８１

　　この方法で５、６乗まで解決しますが、１０，２０乗となれば大変ですね。
　nCrという立派な式がありますが、これはあと(二項定理)で触れたいと思います。
　　では、を展開してみましょう。５乗の展開なので
　パスカルの三角形から係数は １ ,５, 10, 10, ５, １
　　以下のようになります。
　　

それでは以下の問題（展開）にチャレンジしてみてください。 　　　① 　　　　　　　②　 　　　③ 　　　　　　　④

　①　(＋２)³＝＋(３) ×2 ＋(3)×(2)^２＋(2)^３
　　　＝＋6＋1２＋8
　②
　③　(－２)³＝－(３) ×2 ＋(3)×(2)^２－(2)^３
　　　＝－6＋1２－8

問１　(1), (2) 因数分解、(3)～(6) は展開しなさい 　　　　(1) 　　　(2) 　　　　(3) 　　(4) 　　　　(5) (3x+2)3　　　(6) (x－2y)3

　答　公式に慣れることです。そのためには、数多くの問題を解くことです。

　　(1)
　　(2)
　　　　　　「3乗の式ですから、まず、６４は４の３乗では？」と考えることです。

　　(3)
　　　　　　計算ミスに注意

　　(4)

　　(5) (3x+2)³＝ (3x)³＋3×(3x)²×2＋3×(3x)×2²×2³
　　　　　　　= 27x³＋54x²+36x+8　

　　(6) (x－2y)³ ＝ x³＋3×x²×(－2y)＋3×x×(－2y)²×(－2y)³
　　　　　　　　　　　　　　＝ x³－6x²y＋12xy²－8y³

チャレンジ 　前例のパスカルの三角形（図２）はnｃrを用いて図３のように置き換えられます。 　　　　　　　図２　　　　　　　　　　　　　　　　　図３ を２項定理で展開すると以下のようになります。 　 　　この計算の係数 Cがどこからくるのだろうか？   メモ 　一般に、記号nｃrを次のように定めます。 　　但し 　次の二項定理が成り立つ (a+b)nを展開したとき， an−rbr の係数は nCr になる．（nCr を二項係数といいます．） すなわち，一般項は nCran−rbr になる．（r=0～n） 展開式をすべて書くと 　 (a+b)n=nC0an+nC1an-1b+nC2an-1b2 + ·········+ nCran-rbr + ··· + nCn−1abn-1+nCnbn 　以下のようにも表せます 　　　　 　　　 　　を計算してみましょう

　１章で学んだ以下の公式。大切ですので左辺から右辺へ（展開）、右辺から左辺へ（因数分解）
　スムーズにできるようにしておいてください。

　　　　

例　次の方程式を解いてみよう 　　(1) 　　　　　　　　(2) 　　(3) 　　　　(4) 　　(5) 　　 (6)

　ヒント
　　(1)　以下の公式を使いましょう。
　　　　公式を使わなくても解答できますが、できたら公式を使ってください。

　　　　　　　　　

　　　　答　(1) (x＋２)()　に因数分解できますが、
　　　　　　　　をさらに因数分解しましょう。
　　　　　　　　　　　　　 …答
　　　　　(2) 　　をさらに因数分解

　　　　　(3) ⁴を2次式に置き換えてみよう。例えば　²＝a　から　⁴＝ a^{2
　　　　　　　2}＝a　 a=3 ,－1 　　x²=3,　－１より　x=±√3　x=i

　　　　　(4) x=－１, 3, －１±３i　…答

　　　　　(5) 問(3) と同じように、 ⁴を2次式に置き換えてみよう。
　　　　　　　　　 と置くと, 　　

　　　　　　　　　　　 を元に戻して、²＝９,　²＝－２

　　　　　　　　　　　　　　…答

　　　　　　　　（6）　から　=１,ー１,３

問　次の方程式を解きなさい。 　　　(1）　　　　　（2） 　　　(3）

　　(1)　x＝２, －１±√3i　　(2) (x－3)³　よりx＝ 3　　(3)　x＝－１, 2±2√２

　３. 　（割り算）
　

例題

　解説
　　(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)　
　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　商は　　余り　
　（3）解説
　　　　　

　　この式がどのように成り立っているか、仮に１３を４で割った式で考えてみよう。
　　　１３÷４＝３　余り１ですね。
　　　　Ａ＝１３,　Ｂ＝４,　Ｑ＝３,　Ｒ＝１を代入してみましょう。
　　　　　　１３÷４＝３　余り１　１３＝４×３＋１　で　A = B×Q＋R ですね。

　　　　　
　
　　　　それでは上の例題３を解いてみましょう。

　　　　　　

　　　　　　　　　　

　　別解　なので割る数と商を入れ替えて、
　　　　　÷のように

　　　　　　そのまま計算しても結果は同じですね。

問 (1)　　をで割りなさい。 　　(2）を で割ったときの商と余りを求めなさい

　答　　　　（1）　　　　　　　　　　　　　　（2）

因数定理

例　　の方程式を解いてみよう

　　　とおいて、＝１はNG　＝２もNG　＝－１はOK
　　　　　　よって、（＋１）を因数にもつ方程式
　　　　　
　　　　　　　　　　＝　　より

　　　　　　　…答

メモ

因数分解の公式（形で覚えよう。数多く問題を解くことで慣れます）

　　

　、の代わりに、下の公式のように、でもおなじですね。

　　　

例題　(1)から(2)は方程式を解き、（3）から（5）は因数分解しなさい 　　　(1) 　　　(2) 　　　(3) 　　(4) 　　　(5)

　答　(1)　　　(2)　　より　

　　 （3）　(4)

　　　(5)

練習問題１　次の式を展開しなさい。 　　(1)　　　　　　　　(2) 　（3）　　(4)

　答　(1)　　　(2)　
　　　（3）　　　　　(4)　

練習問題２　次の式を因数分解しなさい。 　　　(1)　　　(2)　 　　　(3）　　　(4) 　　(5) 　　(6)

　　(1)　　　(2)　　（3）
　(4)　　(5)（6）

例　の展開式におけるの係数を求めてみよう。

　　　の展開式の一般項は 　 ※rは０から始まる

　　　の項はのときだから　

　　　よって、求める係数は　

例題　　　を解いてみよう。

　解き方　こうした問題は　や複素数の分数式　　と同じで

　　　や　　を一つの塊（ブロック）として考えることが大切です。

　　　も同じように　　のように、一つの塊として考えましょう。
分母が異なる　の計算と同じように、分母を合わせて、

　　　　　…　答

問１　 次の式を計算しなさい。

　　答　(3)の問いは分母が同じ　　　それに、
　　　　（１）や（２）（４）の問いは分母が異なる　の計算と同じだね。

　　　(1) 　　(2)　　　＝

　　　　(3)　

　　　（４）　

解答(1)

解答(2)

　まずa³+b³を考えましょう。以下のように(a+b)³ として、過不足を調整します。

　a³+b³=(a+b)³－3(a²b+ab²)
　
　　　　a³+b³+c³+d³=(a+b)³－3(a²b+ab²)＋(c+d)³－3(c²d+cd²) …①
　　　a³+b³+c³+d³=(a+b)³－3(a²b+ab²)＋(c+d)³－3(c²d+cd²)
　　　　　　　　　　=(a+b)³－3ab(a+b)＋(c+d)³－3cd(c+d)
　 　　条件　a+b+c+d=0より　a+b=－(c+d)
　　　　右辺に代入
　　　　　(a+b)³－3ab(a+b)＋(c+d)³－3cd(c+d)
　　　　　＝ －(c+d)³－3ab｛(－(c+d)｝＋(c+d)³－3cd(c+d)　　
　　　　　＝ －(c+d)³－3ab｛(－c－d)｝＋(c+d)³－3cd(c+d)
　　　　　＝ －3ab｛(－c－d)｝－3cd(c+d)
　　　　　＝ 3ab｛(c+d)｝－3cd(c+d)
　　　　　＝ 3(c+d)(ab－cd) 　…②
　　　　条件　a+b+c+d=0より　c=－(a+b+d)　 ②に代入
　　　　　 3(c+d)(ab－cd)＝3(c+d)(ab－｛－(a+b+d)・d ｝
　　　　　　　　　＝3(c+d)(ab＋(a+b+d)d｝＝3(c+d)(ab+ad+bd+d²)｝
　　　　　　　＝3(c+d)｛a(b+d)+d(b+d)}
　　　　　　＝3(c+d)｛a(b+d)+d(b+d)}　＝3(a+d)(b+d)(c+d)}
　　　　　 　a³+b³+c³+d³=＝3(a+d)(b+d)(c+d)}　が成り立つ



　
　　　相加平均と相乗平均
　　　２つの正の実数,に対して
　　　　　　　　　　　を相加平均　　　を相乗平均　という。

　　　また、相加平均と相乗平均のあいだには、次の不等式が成り立つ。

　　　　　　　　　　　　　あるいは両辺を２倍して
　　　　　　　　　（等号が成り立つのは＝ のときである）

例

　解説　相加平均と相乗平均の関係（相加平均≧相乗平均）を用いよう。
　　　　　であるから
　　　　　　

　　　より、

　　　　　　　　よって