★各「挑戦状」への解答は、その挑戦者（作問者）宛のメールで出して下さい。
お互いに敬意を払いながら、知性と品性を磨き合いましょう。
下の図で、ＡＢ＝３，ＢＣ＝７，ＡＣ＝４のとき、ＡＤの長さを求めてください。挑戦者 Ｑさん(H20.10/16)
次の作図をコンパスだけで解いてください。定規は使いません。 また、すべて「円弧の交点」として求めてください。 ●１.中点 与えられた２点Ａ，Ｂの中点をコンパスだけを使って作図してください。 ●２.垂線の足 ２点で与えられた直線ＡＢ上に、その直線上にない任意の点Ｃからの垂線の足を 作図してください。 ●３.正方形 ２点で与えられた線分ＡＢを一辺とする正方形の他の頂点を作図してください。 ●４.円との交点 中心を与えられた円Ａと、その円周上以外の任意の点Ｂがあります。 円Ａの中心と点Ｂを結ぶ直線と円Ａとの交点を作図してください。 ●５.円の中心 中心を与えられていない円の中心Ａを作図してください。 ●６.円と直線との交点 与えられた円Ａと、２点で与えられた直線ＢＣとの交点を作図してください。 与えられた直線は、実際には作図されていません。２点で定義されているものと して考えてください。（円と直線が２点の交点を持つ場合として考えてください） ●７.２直線の交点 ２点で与えられた直線ＡＢと、２点で与えられた直線ＣＤとの交点を作図してく ださい。与えられた直線は、実際には作図されていません。２点で定義されている ものとして考えてください。（２直線が交点を持つ場合として考えてください） これらの問題を解くことにより、コンパスと定規で作図できる交点は、すべて コンパスだけで作図できるといえると思います。挑戦者 割烹さん(H15.5/18)
数字があるきまりにしたがって並んでいます。 １，２，９，１０，２５，２６，４９，５０，・・・・・・ この並び方でいくと１６番目にくる数はなんでしょう？挑戦者 晃平さまさん(H15.3/10)
１．３９個の見かけ同一のコインの中に重さが違うにせコインがただ１個だけ混入しています。 今は重いか軽いか不明です。これらを天秤はかりの操作の４回目で、にせコイン１個を 追い詰め、重いまたは軽いと特定して下さい。 ★この問題は良く知られた”１２個の玉（またはコイン）の中に重さが違う１個の玉（コイン）” の拡張版です。場合の分岐複雑さをいかに見やすくし、解答を読んだ人を納得させられるか がポイントです。思い込みの仮定をしていないか十分ご確認下さい。 ２．Ｎ個の見かけ同一のコインの中に重さが違うにせコインがただ１個だけ混入しています。 今は重いか軽いか不明です。天秤操作回数がｎ回だけ許されたとき、このにせコインが 判別できるＮの最大数を示す式を導いてください。 ★３回では１２個、４回では３９個、５回では・・・？ 一般式があるはずですね。 注１：この問題はＮが大きくなると、数学的にはいえても物理的（現実的）に難しくなります。 正常なコイン間の重さバラツキの和が異常な１個の重さ偏さを超えるからです。挑戦者 おっとこといさん(H14.8/18)
３人の死刑囚が同居している監獄に明るい知らせが届いた。 ３人のうち一人が特赦で許されることになった。 それがだれであるか抽選で決められてはいるが極秘にされていた。 死刑囚Ａはすぐに確率を計算した。 『３人のうち１人だから３分の１だ。だけど、どうにかして看守から何か聞き出せないだろうか？』 そこでＡは看守に 『３人のうち一人しか助からないんだからＢかＣのうちどちらか一人は死ぬわけですよね？』 『そりゃそうだ、二人助かることはないわけだからな』 『じゃあ、僕が助かるかどうか教えてくれませんか？』 『それはダメだ、極秘事項だからな』 『じゃあ、Ｂ、Ｃどちらか助からないのを教えてくれませんか？ 死ぬ前に親切を少しでもしてやりたいじゃないですか』 『それも、そうだな』 とＣが助からないと教えてくれました。 看守から得た情報で助かるのは俺とＢだけ 『やった！これで俺が助かる確率が二分の一になった』 それを聞いていたＢは思った、 『何を言っているんだろう？ どちらかが助からないのは最初からわかっていることで ただその一人の名前を聞いただけではなんのたしにもならない つまり確率は三分の一のままなのに』 さあどちらが正しいのか？ よく考えてご決断ください。挑戦者 太ったソクラテスさん(H14.4/27)
私と勝負をしましょう。 コンパスと目盛りのない直線定規だけを使って角度を作ります。 このとき角の大きさを自然数にするなら、 作ることができる「最小の角度」は何度ですか？ 高校数学の範囲を用いて現在私は３度です。 ３度でもいいし、それ以下を考えてみてください。 実際、１度など角度が小さすぎると鉛筆の線では見えないので、 理論上可能ならＯＫです。挑戦者 ga-kuri!さん(H14.4/27)
私はこれまでいろいろな証明を見てきたが これほど変な結果は見たことがない。 Ａ＝Ｂのとき 両辺にＡを掛け ＡＡ（Ａの２乗のこと）＝ＡＢ 両辺からＢＢを引き ＡＡ−ＢＢ＝ＡＢ−ＢＢ 因数分解をして （Ａ＋Ｂ）（Ａ−Ｂ）＝Ｂ（Ａ−Ｂ) 両辺を（Ａ−Ｂ)で割って （Ａ＋Ｂ)＝Ｂ Ａ＝Ｂだから Ｂ＋Ｂ＝Ｂ Ｂ＝１とおくと １＋１＝１ だから ２＝１？ この証明の間違った点を教えて欲しい。挑戦者 太ったソクラテスさん(H13.10/10)
４を４つ使って５１を作ってみてください。 ただし、以下のものを守ってください。 ・高校の数学までで習うものを使う。 ・循環小数の記号を使わない。 ・πやｅなどの数（文字）を使わない。 たとえばｓｉｎを使うなら、「ｓｉｎ４４°」といった使い方になりますね。 あと、！（階乗）や√（ルート）なんかもＯＫです。 ｌｏｇも底を省略するときもありますが、省略してもしなくてもどちらでもいいです。 さあ、いかがでしょう。私は高校のころ、これを見つけるのに１ヶ月かかりました。 見つけたときは感動ですよ。挑戦者 ｋｉｍさん(H13.9/30)
ＣＧＤＡ ＋ＨＥＢＦ ―−−−−−− ＢＧＣＧ Ａ〜Ｈは０〜９までの整数で、お互いに違っています。 Ａ〜Ｈの数字を求めて下さい。 この答えは（？？）通りあります。時間と余裕のある方は挑戦して下さい。 機械に頼らず自分の頭で挑戦して頑張りましょう。挑戦者 晃平さまさん(H13.5/7)
図の中に数種類の正三角形が描かれています。挑戦者 晃平さまさん(H13.5/5)さて正三角形は何個あるでしょう
太郎君は４６００円、次郎君は４０００円持っています。 二人は同じ値段の品物を買いました。 すると太郎君と次郎君の残金の比は１３：１０になりました。 さて品物の値段を「ひとつの計算式」で求めてください。挑戦者 晃平さまさん(H13.4/13)
次のような４つの条件があります。 （１）自然数Ａは、（（Ｂの２分の１）の２分の１）の２分の１です。 （２）Ｃと、Ｄの百億倍は等しくなります。 （３）Ａの約数の個数は全部でＤ個です。 （４）計算は紙に書かず、あなたの頭の中だけで考えてください。 いまＢは１兆であることがわかりました。 さて、Ｃはいくつでしょうか？挑戦者 加藤 拓輝(^。^)さん(H13.4/8)
次の数は、あるきまりに従って並んでいます。 ３，４，６，８，９，１２，・・・ さてこのまま並べていくと、５０番目にはどんな数がくるでしょうか？挑戦者 晃平さまさん(H13.3/7)
次のようにある決まりに従って数が並んでいます。 ４、６、１２、１８、（ ）、４２、６０、（ ）、１０２、１０８、１３８、・・・ （ ）にあてはまる数を考えてください。挑戦者 難波明来さん(H13.2/23)
次のようにある決まりに従って数字が並んでいます。 ２ ６ １２ ２０ ３０ ・・・ この数字の１００番目にどんな数字がくるのか、もっとも簡単に求めてください。挑戦者 晃平さん(H13.2/11)
下の□，△に当てはまる数を考えてください。 １２＋１２＋２２＋３２＋５２＝ □×△ もちろんその理由も説明して下さいね〜挑戦者 正義の敵役さん(H13.2/1)
Ａ君は２００万円持って宝石店へ行き、大きいダイヤと小さいダイヤを買うことに決めました。 しかし、大きいダイヤを１４個と小さいダイヤを６個ずつ買うと８万円足りません。 そこで、大きいダイヤを６個と小さいダイヤ１４個ずつ買いました。 すると逆に８万円余ったそうです。 さて大きいダイヤと小さいダイヤそれぞれ１個あたりいくらでしょうか？挑戦者 赤い鳥さん（H13.1/2）
「二等辺三角形の、２底角の二等分線の長さは等しい」ですね。 では 「２角の二等分線の長さが等しい三角形は、二等辺三角形である」 ことを証明してください。挑戦者 むたさん（H12.9/28）
『毎日１分づつ遅れてしまう時計と、壊れていて動かない時計があります。どちらが正確でしょうか』 答えは「壊れた時計」・・・なぜなら１日に２回は正確な時刻を示すから。 でもこれはちょっといんちきですよね。動いている時計の方が役に立つに決まっています。 「２回」というように回数で計ろうとするところが、生活の実感と違っています。 時計って、大体でいいから合っているってことが大事ですよね。 それで、どちらの時計が正確か計算しなおすことにします。 「正しい時に対して５分以内の範囲にあれば『正確』である」と定義してみましょう。 「壊れた時計」は前後５分づつ１日２回だから、２４時間あたり２０分間「正確」です。 つまり正確度は２０分／２４時間＝１／７２です。 では「１分遅れる時計」はどうでしょうか？ あるとき正確な時刻を示したとすると、それから５日間は５分という誤差の範囲内だけれど、 それ以後正しくない時刻を示します。でも、７１０日経つと７１０分＝１１時間５０分遅れるから この時計は再び５日間「正確」ということになります。 ということは・・・この時計は７２０日間のうち１０日間が「正確」といえますね。 つまり、正確度は１０日／７２０日＝１／７２です。・・・あれれっ？２つの時計の「正確度」が 同じになってしまいました。 なんだかおかしいですね？ やっぱり、誤差「５分」というのは甘かったのでしょう。５分も遅れたら遅刻でしかられてしまいますね（＾＾） では、この許容範囲を「５秒」ということにしてみましょう。 これなら動いている時計の正確度は壊れている時計よりも高いはずです。（実際にやってみて下さい） ありゃりゃ？・・・またも「同じだけ正確」となりました。 ・・・・結局、「５分」→「５秒」→「１秒」→・・・と、どこまでいっても、 「壊れた時計」と「ちょっと遅れる時計」とは同じ正確さだということがわかります。 では、問題です。 なぜこのようなことになったのでしょうか。 周りの人を納得させられる説明をしてください。挑戦者 _man さん（H12.5/16）
時計が３つあります これら時計は２時間ずつずれて動いており、 １つの時計が３時のときほかの２つは５時と７時です。 さてこのとき３つの時計の「時」の合計は１５になりますね。 では、この時計の「時」の合計が一番大きな数になるのは 何時と何時と何時のときでしょうか。 ただし１２時をすぎても１３時にはならず、１時になるとします。挑戦者 赤い鳥さん（H12.4/10）
ここに１時間１０分たつと７分遅れる時計があります。 この時計を３時の時刻のときに３時４分になるようにセットしました。 さて、時刻が７時になったときにはこの遅れる時計は何時何分になっているでしょうか？挑戦者 赤い鳥さん（H12.3/27）
本年度（１９９９年度）の共通一次の英語の問題にあった問題を改題したものです。 ｢１２個のボールのうち1個だけ，他のボールより重いものがあります。 天秤を使ってその1個を見つけだす戦略を立ててください。｣ ほんのちょっとだけいい方法（期待値が最小となるもの）があると思います。挑戦者 ＡＯＫＩさん（H12.1.29）
四角形ＡＢＣＤで、 ＡＢ＝２ＡＤ ＢＣ＝ＣＤ ∠ＢＣＤ＝９０° です。 ＡＢの中点をＥとして、ＥＣ//ＡＤのとき ∠ＡＤＣは何度になるでしょうか？挑戦者 ホームレオンさん（H11.12.24）
１から１０までの番号を振られた袋があり ある袋には偽物のコインが 残りの９袋には本物のコインがたくさんはいっている （ただしすべての袋に入っているコインの枚数は同じとする） 本物のコインは重さが１０グラムで 偽物のコインは重さが９グラムであることが分かっている 重さのわかる秤を使って偽物のコインの袋を判別するには 最低何回天秤を使わないといけないか挑戦者 案著美さん（H11.9.2）
ある数aに何らかの操作を加えたものを（a）とします。 さて、（１）＝１，（２）＝２，（４）＝２，（７）＝３，（４０）＝４，（８０）＝８ であるとき（１９９９）はいくつでしょうか。 解けた方，メールをお待ちしています。挑戦者 謎の男さん（H11.3.27）
三角形ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形であるとします。 ∠Ｂ＝∠Ｃ＝３αとおきます。 辺ＡＢ，ＡＣ上に点Ｄ，Ｅをとり ∠ＢＣＤ＝α，∠ＣＢＥ＝２αとします。 さて、このとき ∠ＢＥＤ＝α／２になったとするとαは何度でしょうか。挑戦者 hataさん（H10.6.22）
１問：四角形ＡＢＣＤがあります。対角線を、２本引いて下さい。その交点をＥとしま す。そして、角ＡＢＥ＝５０度、ＥＢＣ＝３０度、ＢＣＥ＝４０度、ＥＣＤ＝３０度、 ＤＡＥ＝Ｘとします。このとき、Ｘ＝何度？挑戦者 naito akioさん（H10.5.20）２問：円に内接する四角形ＡＢＣＤの四辺を、それぞれａｂｃｄとするとき、面積Ｓを 、ａｂｃｄで表して下さい。＜答えに、ｓｉｎ、ｃｏｓがはいっててはいけない。＞ どうぞ解いてみて下さい。
図のような地形にＡさん家とＢさん家があります。 Ａさん家からＢさん家に最短でいけるように ２つの川に橋を作ることになりました。 橋は川に垂直で、一人しか渡れない狭いものをつくりたい。 各々の川のどこに作れば良いのでしょうか。 また、建築後の両家の距離は何ｋｍでしょうか。
１２枚の金貨があり，その中に１枚ニセモノがあります。 そのニセモノが重いか軽いかは，等確率です。 天秤を最低何回使えば，ニセモノを発見し，重いか軽いかを 知ることが出来るでしょうか？ 回数と，その方法を答えて下さい．挑戦者 mesoさん（H9.12/2）
だいぶ前の問題になりましたが，計算仮面の大冒険（第１４問）で， 正方形をコンパスの跡「７カ所」で作図する問題がありました。 しかし、「５カ所」でも作図できることがわかりました。 ぜひチャレンジして下さい。挑戦者 AOKIさん（H9.11/24）
はじめまして、さて問題です。 コンパスと定規だけを用いて正五角形を書くにはどのようにすれば書けるでしょうか？ ちなみに出題者の私も考え中です。お分かりになった方メールお待ちしております。挑戦者 Yoshiyukiさん（H9.9/27）
ここに３つの整数（どれも４以上）ａ，ｂ，ｃが続けて並んでいます。 （例えば５，６，７というふうに） さて、この３つの数を見ていた花子さんが言いました。 「あら、このうち、ａとｃは素数になるわ。」 すると、それを向こうで聞いていた太郎君がじっと考えていましたが、 「へー、じゃあｂは６で割り切れるね。」 と言いました。 花子さんは不思議に思って太郎君に聞きました。 「どうしてｂを見ていないのに６の倍数だとわかったの？」 さあ、太郎君は花子さんにどう説明したのでしょうか？挑戦者 ハヤトさん（H9.9/14）
３，４，６，８，１２，１４，１８，２０，２４，３０，（ ），３８，（ ）・・・ 上のカッコに当てはまる数字を答えて下さい。 ちなみに上の数の並び方には決まりがあります。挑戦者 ハヤトさん（H9.8/9）
