数 Ａ

　整数の性質
　　１節　約数と倍数節　約数と倍数

　　　１.　約数と倍数

　　　　　　　　・４の倍数の判定法
　　　　　　３桁の数字（自然数）をＮとしよう。
　　　　　　Ｎ=100a+10b+c　と表せる。
　　　　　　　　　　　　=４×25ａ+(10b+c)

　　　　　　　　　　　４×25ａは４の倍数だから
　　　　　　(10b+c)が４の倍数であればＮは４の倍数である。

　　　　　・３の倍数の判定法と９の倍数の判定法
　　　　　　　Ｎ=100a+10b+c（自然数）
　　　　　　　　=(99+1)a+(9+1)b+c
　　　　　　　　=9(11a+b)+(a+b+c)
　　　　　　　9(11a+b)は３及び９の倍数なので
　　　　　　　a+b+cが３の倍数であれば、Ｎは３の倍数であり、
　　　　　　　９の倍数であればＮは９の倍数である。

　　　このことから倍数の判定ができる
　　　　４の倍数の判定法：下２桁が４の倍数である
　　　　３の倍数の判定法：各位の数の和が３の倍数である
　　　　９の倍数の判定法：各位の数の和が９の倍数である

　答　問１：�@,�A,�C　
　　　問２：３の倍数は�@,�A,�C　　９の倍数は�@,�C

　正の約数の個数
　　１６の正の約数の個数を求めてみよう。
　　　１６を素因数分解すると、２⁴
　　よって、１６の正の約数の個数は
　　　２⁰,２^1,２²,２³,２⁴つまり１,２,４,８,１６,の５個　(２⁰=1)

　このことから下のことがいえる。
　　ａⁿの正の約数の個数は1ａ¹ａ²ａ³ａ⁴…ａⁿ のｎ+１(個)である。

　　６７５を素因数分解すると、６７５=３³×５^２
　　　６７５の正の約数は　
　　　３³の正の約数　１,３,３²,３³の４個の１つと（下図参照）
　　　３³の正の約数　１, 5, 5² の３個の１つとの積で表せる。
　　よって、６７５の正の約数の個数は４×３=１２(個)

　答　２０

　　２．最大公約数と最小公倍数

　　　整数の割り算と商　および余り

　ａ,ｂは整数ｍ,ｎを用いて、
　　ａ=8m+6 ,ｂ=8n+5　と表せる。
　(1)　ａ+ｂ=(8m+6) + (8n+5)
　　　　　　=8m+8n+11=8(m+n)+11=8(m+n+1)+3
　　　m+n+1は整数である。
　　　　よってａ+ｂを８で割ったときの余りは３

　(2)　ａｂ=(8m+6)(8n+5)=64mn+40m+48n+30)
　　　　=8(8mn+5m+6n+3)+6　(8mn+5m+6n+3：整数)
　　　　よってａｂを８で割ったときの余りは６

　答　(1)　１　(2)　４　　(3) ３　（０≦余り＜正の整数)


　３．ユークリッドの互除法

　　　　　　　24と9の最大公約数は３ですね。たとえば、24と9の最大公約数を求める際、
　　　　　　　　　24÷9=2　余り6
　　　　　　　　　　　9÷6=1　余り3
　　　　　　　　　　6÷3=2　より　３　
　　　　　ただひたすら、割り算を繰り返すことによって求める方法をユークリッドの互除法といい、
　　　　　24と９では暗算でできますが、大きな２つの数の最大公約数を求めるときに有効になります。

　　　上の例に従って592と222の最大公約数を求めてみよう。
　　　　　　　　592÷222=2　余り148
　　　　　　　　222÷148=1　余り74
　　　　　　　　148÷74=2　　最大公約数:74

　(1) 13　　(2) 17

　４．不定方程式

　　ｘ,ｙがともに４の約数であるから、
　　　ｘ=1, y=4　　　　　ｘ=ー1, y=ー4
　　　ｘ=2, y=2　　　　　ｘ=ー2, y=ー2　
　　　ｘ=4, y=1　　　　　ｘ=ー4, y=ー1
　　したがって４の約数は
　　　　１，ー1，２，ー２，４，ー４

　　４ｘ+７ｙ＝０から　４ｘ＝ー７ｙ　…�@
　　４と７は互いに素であるから、ｘは７の倍数であり、
　　整数ｋを用いて　ｘ＝７ｋ　ここでｘ＝７ｋを�@に代入すると、
　　４×７ｋ＝ー７ｙより　ｙ＝−４ｋ
　　よって不定方程式４ｘ+７ｙ＝０のすべての整数解は
　　ｘ＝７ｋ，ｙ＝−４ｋ　（ｋ：整数）

　(1) ６ｘ+７ｙ＝０　６ｘ=−７ｙ…�@　
　　　　６と７は互いに素で、ｘは７の倍数であるので、
　　　整数ｋを用いて、ｘ＝７ｋ　ここでｘ＝７ｋを�@に代入
　　　６×７ｋ=−７ｙより　ｙ=−６ｋ
　　　よって不定方程式６ｘ+７ｙ＝０のすべての整数解は
　　　　ｘ＝７ｋ，ｙ＝−６ｋ　（ｋ：整数）
　(2) ２ｘー９ｙ＝０　２ｘ=９ｙ　　…�@
　　　２と９は互いに素で、ｘは９の倍数であるので、
　　　整数ｋを用いて　ｘ＝９ｋ　ここでｘ＝９ｋを�@に代入
　　　２×９ｋ＝９ｙより　ｙ＝２ｋ
　　よって不定方程式２ｘー９ｙ＝０のすべての整数解は
　　ｘ＝９ｋ，ｙ＝２ｋ　（ｋ：整数）

　　まず、５ｘー９ｙ＝２…�@　の整数解を１つ求める。
　不定方程式５ｘー９ｙ＝２の整数解を１つ求めると、
　　ｘ=４，ｙ=２　であるから（ｘ=−５，ｙ=−３でもＯＫ）
　　５×４ー９×２＝2　…�A　　　　　　　
　　５(ｘー4)ー９(ｙー2)＝0
　　５(ｘー4)＝９(ｙー2)　…�B
　　５と９は素であるから、(ｘー4)は9の倍数であり、
　　整数ｋを用いて　ｘー4=9k　�Bに代入
　　５×９ｋ＝９(ｙー2)　　　ｙー2=５ｋ
　　よって�@のすべての整数解は
　　　ｘ=9k+４　ｙ=５ｋ+２　（ｋ:整数）

　　まず、９ｘー４ｙ＝１…�@　の整数解を１つ求める。
　　　ｘ=１，ｙ=２　であるから、
　　　　９(ｘ−１)ー４(ｙ−２)＝０
　　　　９(ｘ−１)＝４(ｙ−２)　…�A
　　　９と４は素であるから、(ｘー１)は４の倍数であり、
　　整数ｋを用いて　ｘー１=４k　�Aに代入
　　９×４ｋ＝４(ｙー2)　　　ｙー2=９ｋ
　　よって�@のすべての整数解は
　　　ｘ=４k+１　ｙ=９ｋ+２　（ｋ:整数）

　　　　2x+3y=1　…�@

　　　　ｘ=ー１，ｙ=１は�@の整数解の1つである。
　　　したがって　２×(−１)+３×１=１…�A
　　　�@−�Aより　２(ｘ+１)+３(ｙ−１)＝０
　　よって　　２(ｘ+１)＝ー３(ｙ−１)…�B
　　�Bより　未未未未未未

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　２節　整数の性質の応用
　　　

　　　５人の班の数をｘ、６人の班の数をｙとすると、
　　　５ｘ+６ｙ=２８
　　　　この式を満たす０以上の整数ｘとｙの組を求める。
　　　ｘ=６で30になるのでｘは０〜５までの整数。　

　上の表からｘとｙがともに整数になるにはｘ=２,ｙ=３のときだけであるので、
　５人の班を２つ、６人の班を３つ作ればよいことが分かります。

　　５人の班の数をｘ、６人の班の数をｙとすると、
　　　５ｘ+６ｙ=３９
　　　　この式を満たす０以上の整数ｘとｙの組を求める。
　　　ｘ=８で40になるのでｘは０〜７までの整数。

　ｘ=３,ｙ=４で
　　５人の班を３班、６人の班を４班作ればよい。

【まとめ問題】

除法の性質

【答】　(1) 0　 (2)2 　(3)3


問題整数 n  が 3  で割り切れないとき、n 2   を 3  で割ったときの余りが 1  となることを示せ。

約数と倍数　

【答】(1) 1 , 2 , 5 , 10　　(2) ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±12
　 　　(3) 0 , ±5 , ±10 , ±15 ,…　　(4) 3 , 6 , 9 , 12 , 15


倍数判別法

【答】(1)  2 , 3 , 4 , 5  の倍数となります。
　　　(2)  2 , 3 , 4 , 9  の倍数となります。

素因数分解
　

　【答】(1) 2 ³ ×3　　(2) 3³×7 

約数の個数・平方数　

【答】  24  個 

等式を満たす整数の組

【答】(1) (m , n)=(0 , 4) , (2 , 2) ,(ー2 , ー2) , (ー4 , 0) 

(2) (m , n)=(ー2 , 6) , (ー1 , 4) ,(1 , 3) , (ー4 , ー2) ,(ー5 , 0) , (ー7 , 1) 

最大公約数と最小公倍数

(1)  最大公約数は 15  、最小公倍数は 525 
(2)  最大公約数は 3  、最小公倍数は 546 

最大公約数と最小公倍数の関係式

【答】  (6 , 420) , (12 , 210) 　　　　 (30 , 84) , (42 , 60) 

ユークリッドの互除法

【答】　最大公約数 11  、最大公約数 12 

不定方程式�@

【答】(1) x=2m , y=ー5m (m:整数)
　　　(2) x=2m+1 , y=ー5mー2 　(m:整数)
　　　　　(3) x=2m+2 , y=ー5mー4 　(m:整数)

不定方程式�A（互除法）

【答】　(1) x=4 , y=ー5 　　(2) x=12 , y=ー15 　　　

２節　整数の性質の活用

　２進法

　　１0進法→２進法変換は、素因数分解でやったように、
　ただひたすら２で割っていきます。
　　また、違った変換法は下の位から１,２,４,８,１６の重みでやる方法もあります。
　(1) １３でしたら、�G,�C,２,�@と〇で囲った個所にビットがたちます。
　　　〇で囲った個所に１をたてますので、　１１０１₍₂₎となります。
　(2) １８は　�O,８,４,�A,１で　１００１０₍₂₎
　(3) ３９は　?16,8,�C,�A,�@で　１００１１１₍₂₎

　　【答】２進法→１0進法変換も同様にやってみましょう。
　 (1) １１０１０は 16,8,4,2,1 でビットがたった１のみ〇で囲ってみます。
　　�O,�G,４,�A,１ �O+�G+�A＝２６
　　(2) 10101　　�O,8,�C,2,�@　　�O+�C+�@＝２１
　　(3) 35 

2進法 ⇔ 16進法

0 ⇔ 0　　1 ⇔ 1　　10 ⇔ 2　　11 ⇔ 3　　100 ⇔ 4

101 ⇔ 5　　110 ⇔ 6　　111 ⇔ 7　　1000 ⇔ 8

1001 ⇔ 9　　1010 ⇔ A　　1011 ⇔ B

1100 ⇔ C　　1101 ⇔ D　　1110 ⇔ E　　1111 ⇔ F

上の対応表より、答えは 1110 1010 0011 です(見やすくするために4桁ごとにスペースを空けました)。

ちなみに、小数の場合も同じ手順で計算して小数点をつけるだけです。例えば、16進数の E.A3

E.A3　　 は2進数で 1110.10100011

1110.10100011

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下から4桁ごとに区切ると、10 0100 0011 となります。これに上の対応表を使うと243

243　となります。

ちなみに、小数の場合も同じ手順で計算して小数点をつけるだけです。例えば、2進数の 10.01000011

10.01000011　は16進数で 2.43

2.43　に対応します。

　ｎ進法

　　 ５進法です。５²,５^1,５⁰ の重みで計算しましょう。
　　　　　２×５²+３×５¹+４×５⁰＝５０+１５+４＝６９です。

　

　　�@与えられた１０進法の数を５でわり、商と余りを求める。
　　�Aこれを商が１になるまでくりかえす。
　　�B最後の商１と余りを順に書き並べる。　
　　　　　８２＝３１２_[5]


　　　

　答　(1) 101201 [3]　　(2) 3224 [5]

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【答】(1) �@ 0.625   �A 0.528 

　　　(2) �@ 0.101 [2]    �A 0.331 [5]  

　n進法のたし算

 【答】　　(1) 10001 [2]  　　(2) 1142 [5]
  

【答】　

(1) 100011 [2]  

(2) 22022 (5)  

　循環小数

【答】　(1) �@ 0.75 

　　　　(2)  有限小数は　   78  , 920  　循環小数は　 512  , 815