第２章　ベクトル　　　　　　戻る
　
目次

　べクトルはいろんな分野で用いられています。台風を例にとってみましょう。

低気圧の風向き 　低気圧は、周囲より気圧が低いため、その中心(台風の目：赤丸)に向かって 気流（青ベクトル）が流れます。ところが、地球の自転の影響で、北半球では進行方向に向かって、気流の流れに対し右向きの力(黄ベクトル)が働きます。（コリオリの力） 　風向きは、気圧の差による流れと、コリオリの力の合成として生じ、右に振られながらも、低気圧の中心に吹き込むため、(ピンクベクトル)のようになり、渦を巻くことになります。 　大気だけでなく、海流の運動もコリオリの力の影響を受けています
Tossy's homepageより	平成１５年５月３０日の台風４号の気象衛星写真 　　　　　（写真：高知大学・東京大学・気象庁　より）

　第１節　ベクトルとその演算
　１．ベクトル

「向き」と「大きさ」を合わせもつ量。位置に依存しない。 　ベクトル，の向きが同じで大きさが等しいとき、＝と表す。 　ベクトルの大きさを|| と表す。 　大きさが等しく向きが反対のベクトルを逆ベクトルといい、－ と表す。

k > 0 のとき  k < 0 のとき

　２．ベクトルの演算
　　　　　　ベクトルの和と差の法則を数式と図形的観点からおさえよう。

ベクトルの和	ベクトルの差

ベクトルの差 － は

　「ベクトルの差」を「逆ベクトルの和」と考えてもいいですね。
　

例題１　ベクトルをとを用いて表してみよう。

　　答　　＋＝　　　　＝ー


　ベクトルの問題を解くうえでの最も大切なことは始点の統一です。
　すべてのベクトルを同じ始点のベクトルに変更できます。

　　ベクトルの実数倍
　　　　　

　■ベクトルの計算
　　　一般の文字式と同じように扱うことができます。

　　　　例　(1)　３(２ ) = ６　　(2)　２(＋)= ２ +２

▲平行なベクトル 　　でない２つのベクトル, は、向きが同じか反対のとき、 　　　　平行であるといい、∥ と書く。 　　　　∥　＝(１,２)=ｋ(１,２) となる実数ｋがある。

　■ベクトルの分解

例　正六角形ＡＢＣＤＥＦにおいて、＝　=とする。 　　このとき、次のベクトルを，を用いて表しなさい。 　　　(1) 　　　　　　(2)

　(1) = + = +2　　(2) = + =－ + (－2) =－2－

問１　正六角形ＡＢＣＤＥＦにおいて、＝　=とする。 　　このとき、次のベクトルを，を用いて表しなさい。 　　　(1) 　　(2) 　　(3) 　　(4) 　　(5) 　　　(6)　　(7) 　　(8)

解答 　　(1) ＝－　　(2) ＝－2 　　(3) ＝－(+)＝－－　　　(4) ＝２＋　　 　　(5) ＝２（＋）＝２＋２　　　(6) ＝＋ 　　(7) = BC+CD= AO+= ＋+= ＋2 　　(8) ＝　＋＝２＋

問２　右図のように正六角形ＡＢＣＤＥＦにおいて、次のベクトルを, を用いて表してみよう。 　　(1) 　　　　　(2)

　答　(1) ＝＋　＝＋２
　　　　(2)＝＋＝－＋(－2)＝－2－　　

　　　　または，＝+=－(+)－でも同じ結果になります。

問３　図の正六角形ABCDEFについて、ベクトルの差を，，で表しなさい。　 　　　(1)　　　　(2)　　　　(3)

　　　(1)　　答　：

　　(2)　　答　　：より

　　(3)　　答　= －

問４　右図の正六角形ＡＢＣＤＥＦについて、次のベクトルは 　　　 　(1)　　　(2)　　　　(3)

３．ベクトルの成分
　　　　Oを原点とする座標平面上で，軸，軸の正の向きと同じ向きの単位ベクトルを
　　　　基本ベクトルといい、それぞれ ， 　で表す。

座標平面上のベクトルに対し、  　＝である点Aの座標が 　(,)のとき、は次のように表せる。 　　＝ ＋ 　　または 　　＝（,）のようにも書く

　　■成分による計算　p54

例　＝(2，5)、＝(－2，3)のとき、４＋３を成分表示してみよう。

　　　　　　　４＋３＝4(2，5)+3(－2，3)=(8，20)+(－6，9)=(2,29)

　　ＯＡベクトルは始点を原点Ｏにおいて、(3,1)が終点のベクトルで、
　このようなベクトルを　＝(3,1) と書きます。
　　　

　　次にベクトルの大きさを考えてみましょう。
　　　　ベクトルの大きさ＝長さは「三平方の定理」(中３で学習)を使って求めます。
　　　　　||＝　＝√10

問　＝(2，3)、＝(－1，4)のとき、内積・を求めなさい

　　　・＝2×(－1）＋３×４＝１０

点A(1,2)から、点B(5.7)へ向けて矢印を描く。このとき、AからBに向けたベクトルを、BからAに向けたベクトルをと呼んで区別する。　特にこのようなベクトルを簡単にと書くことがある。 　始点をA(1,2) 、終点をB(5.7)とおいたベクトルをとる。このとき、ベクトルの要素は　= (5−1 , 7－2) = (4 , 5)

赤色のBベクトルのように座標上のどこにあっても、同じべクトルであれば、成分表示も同じ(３，１)になります。 右の図から一見、赤色Bべクトルは始点が(５,３)あたりにあるため、つい、Bべクトルの成分表示を(５,3)のようにしないよう、注意してください。 つぎに、黒色のベクトルＣ。このベクトルは、向きが逆で大きさが同じベクトル、すなわち「逆ベクトル」です。逆ベクトルは向きが逆なので、ｘ ｙ成分に両方マイナスがつきます。 　ベクトルの大きさは、すべて√10です。

　　実際に例題でやってみましょう。

例題　の成分表示は＝(３,２)です。 　　　　ベクトルは図の①～⓸のどれか？ 　　　　　　　　　　　　　(答は２つ) 　　また、大きさは？

　答　ベクトルは①と③　　　大きさは||＝√13

問１　右図の残りの②と⓸ベクトルを成分表示しなさい 　　　また、各ベクトルの大きさを求めなさい。

　答　②　(－３，－２)　　　④　(３，１)

問２　＝ (１,５)、＝(３,－4) のとき、次のベクトルを成分表示しなさい。 　　　　　(1) ２+3　　　　　　　　　(2) －

　(1) ２+3＝2(１,5) + 3(3,－4)＝(2,10)+(9,－12)=(11,－2)

　(2) －=－(3,－4)= (－3, 4)
　

問３　＝(－１,１) , ＝(１,－２)で、＝２＋であるとき、次の問いに答えよ。 　　　　(1)の成分表示をもとめよ。 　　　　(2)と同じ向きの単位ベクトルの成分表示をもとめよ。

　答　　(1)　＝(３，－４)　

　　　　(2) ＝(３，－４)より｜｜=√25)=５
　　　　　　　と同じ向きの単位ベクトルは = (３/5，－４/5)

問４　次の２点A,Bについて、を成分表示し、また、を求めよ。 　　　　　(1) A(2,3), B(5,1)　　　　　(2) A(5,2), B(1,6)

　はの大きさのことです。

(1)　= (5－2 , 1－3) = (3 , －2) …成分表示
　　

(2)　= (1－5 , 6－2) = (－4 , 4)…成分表示
　　＝

問５　＝(１,2)、＝(１,－1) とする。 = (5 , 4) を適当な実数 ｓ ,ｔ を用いて 　　　ｓ+ｔでの形で表しなさい。

　ｓ＋ｔ= ｓ(１,2)＋ｔ(１,－1) = (ｓ,２ｓ)＋(ｔ,－ｔ)=(ｓ＋ｔ),(2ｓ－ｔ)
　　＝ｓ＋ｔ　とすると、　(5 , 4) = (ｓ＋ｔ),(2ｓ－ｔ)　　よって、
　　ｓ＋ｔ= 5 …①　　2ｓ－ｔ= 4…②　連立方程式すると、ｓ= 3　ｔ= 2
　　　したがって　　　　 = 3+2　…　答

問６　２つのベクトル＝(１,3)、＝(－2, ) が平行になるようにの値を求めよ

　答　∥であるには、 = ｋとなる実数があればよいので、
　　　　　(－2, ) = k(1 , 3) = (k , 3k) から
　　　　　　－2 = k　 = ３k 　よって　 = －６
　　　　別解）

　　　　　　　　　＝k　(１,3)=k(－2, )　　(１,3)=(−２ｋ，ｋ)から
　　　　　　−２ｋ＝１　ｋ=３ 　　ｋ＝−1/2　　(−1/2)×＝３ 　　よって　 = －６

問６　２つのベクトル＝(４,−６)、＝( ,９ ) が平行になるようにの値を定めよ

　答　∥であるには、 = ｋとなる実数があればよいので(,９)=(４ｋ,−６k)
　　　　　ｘ＝４ｋ　－６ｋ＝９　＝４×（−３/2）=　−６（答）
　　　　
4．ベクトルの内積

　■Ⅰ ベクトルの内積

　　　①平面上の２つのベクトルの内積は、三角形の余弦定理(cos)に関連して定義しました。
　　　　同じように、空間のベクトルにも内積を定義することができます。

①平面上の２つのベクトルの内積は、三角形の余弦定理(cos)に関連して定義しました。 　　　同じように、空間のベクトルにも内積を定義することができます。

　　　　　 の内積は　　…　公式①で表す。
　　　　　　　　　　　　　　(の・は省略してはいけない)

　　ここでθの値を復習しておこう。下の空欄に値を書き込みましょう。

　　

　　

例１　 ||= 2,　||= 5 で、 とのなす角が30°のとき、内積 .を求めてみよう。

　　　　答　 ・=２× 5cos30=10×√3/２　＝　5√3
　　　　　

問１ ||= 2,　||= 5 で、とのなす角が60°のとき、内積 .を求めよ。

　　答　　 = 5

　■Ⅱ 成分による内積の表示

　　　　　　　　…公式２　と表せる。

例２　 = (1, 2) , = (3 ,1)のとき、内積 .を求めよ。

　　　　　　　公式2より　　・= 1×3＋2×1 = 5

　　内積を使うと、何かと便利です。
　　「内積を使うと2つのベクトルのなす角を簡単に求められる」のです。

　■Ⅲ ベクトルのなす角
　　 　　

例３　2つのベクトル=(1,2), =(3,1)のなす角θを求めてみよう。

　　　公式２と公式１より　　・＝５　　　　　||・||cosθ＝５

　　　例２より　・= 5　…①　
　　　　　　　　　…②

　　公式　 から　　→　

　　　　　　　　　　　　0°≦θ≦180°なのでθ=45°

問　2つのベクトル= (３,０) , = (１,√3) のなす角θを求めなさい。ｐ60

　　　　　　θ=60°

　■Ⅳ　内積の性質
　　　　ベクトルの垂直条件
　　　　　　　≠０　≠０のとき、　⊥⇆　　　 ・＝０　…　公式

　　　　　　　　公式よりcos90°= 0 より
　　　　　　　　　　　・＝０　となります。

例　=(２ , １) と =(ｘ , ４) が垂直になるようにｘの値を求めてみよう。

　解説　 ・＝０より
　　 　　　　・＝2ｘ+ 4= 0　ｘ=－２

問１　=(２ ,3) と =(−６ , ｘ) が垂直になるようにｘの値を求めてみよう。ｐ61

　　　 ・＝０より
　　　　　・＝−12+ ３ｘ= 0　ｘ=４

問２　=(√3 , 1) に垂直で、大きさが４であるベクトルを求めなさい。ｐ61

　解説　　求めるベクトルを (ｘ,ｙ) とする。　　　　・＝０
　　　とは垂直なので　√3ｘ+ y ＝０…①
　　　　||=4 だから　ｘ²＋ｙ²＝4²　…②　
　　　　①よりｙ＝−√3ｘ… ①′
　　　　②に代入　ｘ²＋(−√3ｘ)²＝4²　ｘ²＋３ｘ²＝16　　４ｘ²=１６　ｘ＝±２
　　　　　ｘ＝２のとき、 ①′に代入して　ｙ＝−２√3
　　　　　同様に、ｘ＝−２のときｙ＝２√3　よって答　（２,−２√3）（−２,２√3）

■内積の性質 p62

　　［内積の演算法則］
　　　ｋは実数　
　　　　　①の式は同じく　+・+=|+|^２　
　　　　　　　　　　　　　+2・+2=|+2|^２

　　　［ベクトルの大きさと内積］
　　　　

来週　１/19
　　　以下が成り立つ。証明してみよう。
　　　　　|＋|²＝||²＋２・＋||²　

　　　　　(＋)・(＋)

◎例題１　||=３，・＝－２のとき　・(−3)の値を求めよう。

　　上の公式③より　・(−3)＝・－・(3)　…①
　　公式①より・=||^２　よって①の式は 　　||^２－3・　
　　　９－３×(－２)＝15（答）

◎例題２　||=２，||＝３，・＝－１のとき　|＋２|の値を求めよ。p63

　　|＋２|²＝(＋２)・(＋２)＝・(＋２)＋２・(＋２)
　　・＋・(２)＋２・＋２・(２)
　　||²＋４・＋４||² =４＋４×(−１)＋４×９＝３６
　　　|＋２| ≧０だから　|＋２|＝６

■ベクトルの応用

［内分点の位置ベクトル］

［外分点の位置ベクトル］

■ベクトルの図形への応用
　位置ベクトルとは原点Ｏと点Ｐを結んだベクトルのことで、点Ｐが原点に対して
どんな位置にあるかをベクトルで表したもの。

問　ＡＢＣの辺ＢＣ，ＣＡを２：３に内分する点をそれぞれＤ，Ｅとし、△ＡＢＣの重心をＧとするとき、次のベクトルを ＝，＝　で表せ。 　　(1)　　　　(2)　　　　　(3)

解説
　三角形△ＡＢＣのときは原点が基準点になくても良いので、点Ａを基準点にしよう。

(１)　点Ｄは辺ＢＣを２：３に内分する点だから 　　　　　 　　　→　　→　　→ (２)　ＡＤ＋ＤＥ＝ＡＥ 　　　　 (３)

ーーー　作業中　－－－
　　　　　　　　　　
＝
　


　問　上の例題の４点ＡＢＣＤについて、次の（）に適する実数を求めなさい。
　　　　(1)　　(2) 　(3) 　

■ベクトルの図形への応用
　　　　　



第３章　確率分布と統計的な推測数列