図形の性質

　１．三角形と線分の比

　　角の二等分線と線分の比

 △ABCで、∠Aの二等分線と対辺BCの交点をPとすると、
　　　　　BP:PC=AB：AC		  

 証明
　点Cを通りADに平行な直線を引き、辺BAの延長との交点をPとする。AD∥PCより
∠APC＝∠BAD（同位角）
∠ACP＝∠CAD（錯角）



工事中（Break time）		  


 問　△ABCで、ADが∠Aの二等分線であるとき、線分BDの長さを求めなさい。
　BC＝１０　page90

答　BD＝Xとおく。　X:DC=AB:ACより
　　　　X：（１０－X）＝６：９　９X=６（１０－X）　　X=４


　２．三角形の重心・外心・内心

　　三角形の重心
　　　　（①三角形の３本の中線は１点で交わる）
　　　　（②重心は、それぞれの中線を２：１に分ける）



　問　点Oは△ABCの外心である。∠αと∠βの角度を求めよ。∠α＝３０°と∠β＝２０°
　


　　三角形の外心（三角形の３辺の垂直二等分線は１点で交わる）

右の図で点Oが△ABCの外心であるとき∠BACの大きさを求めてみよう   

解説　

   点Oが△ABCの外心（円の中心）であるから
　　OA=OB=OC　よって△OAB△OACは二等辺三角形となり
　∠OAB=∠OBA=２０°
　∠OAC=∠OCA=３０°したがって
∠BAC=∠OAB＋∠OAC=20°+30°
　　　　　　　＝50°…答



　問　点Oは△ABCの外心である。∠αと∠βの角度を求めよ。
　

　解答

   ∠OAB=３０°よって、
　∠α＝３０°また、三角形の内角の和から
１８０°=（70°＋40°＋∠β＋∠30°＋∠β）
１８０°=（１４０°＋２β）
２β=４０°　よってβ=２０°

  ∠OCA=α+３０°= ∠OCA　同様に
∠OBA=α+２５°= ∠OAB

△OACについて考えると
△OAC＝１８０°
　１８０°=（50°＋２（α+３０°）
　１８０°=（２α+１１０°）
　　２α=７０°　α=３５°　　またβは
　　β=１８０°⊸2α
　　β＝１８０°－７０°＝１１０°
　　　


　　三角形の内心（三角形の３つの二等分線は１点で交わる）

右の図で点Iが△ABCの内心であるとき、∠BACの大きさを求めてみよう   

解説　外接円を描くことで、おおよその性質が見えてきます。

   IBとICはそれぞれ∠ABC，∠ACBの二等分線であるから
　∠ABC=２×３０°=６０°
　∠ACB=２×４０°=８０°
　三角形の内角の和は１８０°だから

　∠BAC=１８０°⊸（∠ABC＋　∠ACB）
　　=１８０°⊸（６０°＋８０°）＝４０°

 問　下の図で点Iが△ABCの内心であるとき、各α、βの値を求めよ
　　　　　　　

内接円を描くことで、おおよその解答へのイメージが見えてきます。

  ∠ABI=∠CBI　∠ACI=∠BCI　よって、△ABCで考えると
１８０°=（∠CBI×２）＋∠BCI×２）＋７０°
　　　２(∠CBI＋∠BCI)＝１１０°∠CBI＋∠BCI=５５°

　△IBCで考えると
　１８０°= ∠CBI＋∠BCI＋α
　α=１８０°⊸ (∠CBI＋∠BCI）
　　α=１８０°⊸５５°=１２５° 

   ∠ACI=４０°∠CAI=３０°　よってαの角度は
　α=１８０°⊸７０°=１１０°

△ABCで考えると　　∠B＝２×∠CBIで
　∠B＝１８０°⊸ (８０°＋６０°）=４０°
　　　∠ABI＝２０°なので
　∠BIA=１８０°⊸ ５０°＝１３０°よって、
　　　β＝５０°



円の接線と弦のつくる角
　円の弦と、その弦の一端を通る接線のつくる角は、その角の内部にある弧の円周角と等しい（接弦定理）
　　　

問１　∠ｘ の大きさを求めよ。

　　　　　

　　　　　　　　
　答
　　　　　∠X＝１８０°- (90°＋ 55°)　＝３５°

問２　右の図においてＰＴは円Ｏの接線でありＡは接点。また、ＢＣは円Ｏの直径である。このとき∠ＢＡＰ、∠ＡＢＣを求めなさい。   

分かった情報は図に書き込んでいこう。

　　ＢＣは直径であるから∠ＢＡＣは９０°
　　また、接線と弦の作る角の性質より　∠ＢＡＰ＝∠ＢＣＡ…①
　　△ＰＡＣにおいて内角の和は１８０°だから
　　∠ＢＣＡ＋３４°＋（９０°＋∠ＢＡＰ）＝１８０°
　　①から
　　　∠ＢＡＰ＋１２４°＋∠ＢＡＰ＝１８０°
　　　２×∠ＢＡＰ＝５６°　　　よって　∠ＢＡＰ＝２８°
　　　∠ＡＢＣ＝１８０°⊸９０°ー２８°＝６２°



　方べきの定理

円の２つの弦AB,CDの交点（図１）、
または、それらの延長の交点（図２）をPとすると、
　PA×PB＝PC×PDが成り立つ。

　　　　　　図１　　　　　　　　　　　　図２
　　

　このことは円と直線の交点に作られる２組の三角形が、それぞれ相似であることから証明できます。
　
　　　　図１　どちらも弧AC、BDの円周角で∠A＝∠C、∠B＝∠Dから相似

 問１　下の図において、PAの値を求めよ
　　　　PC=4, CD=5,AB=9

　PA = ｘ　とおく。
　方べきの定理より、４・（４＋５）＝x・(x＋９）より、　x2 + ９x = ３６　x2 + ９x ⊸ ３６ = ０
　乗法の公式より、（x ー3)(x ＋12) = 0
　x＞０ だから　　x = ３　・・・答

　　検証してみよう　AP=3なら
　　３・（３＋９）＝３６　４・（４＋５）＝３６　でOK！　

 問２　下の図において、xの値を求めよ
　　　　　　　

　方べきの定理より、３・(３＋８)＝ x（x＋4）より、
　　x2 + 4x － 33 = 0　
　　解の公式より、ｘ＞０だから　　x = -2 + √37・・・答