第3章　図形と方程式

　　本章では、主に以下の６つのことを学びます。

３章　　　１節　座標と直線の方程式　　　２節　円の方程式　　　　３節　不等式の表す領域　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　円と直線

テスト直前対策　不等式の表す領域

１．内分の公式　　　　　　　　　　　　　２．三角形の重心の座標 　　　　　　　　　 ３．直線の垂直条件　　　　　　　　　　　４．直線の方程式の新しい表現 　　　　　　　　　 ５．点と直線の距離　　　　　　　　　　　６．円の方程式

１節　座標と直線の方程式

　

　　　線分の内分

　　　　　上の図は線分ABを２：１に内分する点Pを表しています。
　　　　線分ABの内部にあって，AP:PB=２:１となる点」を内分点といいます


　　　　次の図は線分ABをm:nに内分する内分点Pを示しています。

　「線分ABをm:nに内分する点Pとは，線分ABの内部にあって，
AP:PB=m:nとなる点」をいいます．

例１ 　　線分ABを３:７に内分する点Pは 　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　 　例２ 　　　線分ABを１:１に内分する点Q

　答
　　　例１　　　　点P　－２

　　　例２　　　　点P　０

問　直線上に２点A(ａ),B(ｂ)があるとき、線分ABを３：２に内分する点Pの座標Ｘを求めてみよう。　　　　　　　　教ⅡＰ４１

　　　a<bのとき、a<x<b　であるから
　　　AP＝x−a、PB=b－x
　　　　AP：PB=３：２より　(x−a)：(b－x)=３：２
　　　２(x−a)＝３(b－x)　整理すると
　　　　(３＋２)x＝２a＋３b
　　　　　　(a>bのときも同様である)

　　　一般に次のことが成り立つ。

　■内分点の座標

２点A(ａ),B(ｂ)を結ぶ線分ABを 　　　　m：nに内分する点Pの座標Xは　　公式１ 　　　　　とくに、線分ABの中点Ｍの座標Xは

　　
　　　　

　　　　　　　　…答

　　　　　中点Ｍの座標Xは　　　…答

問１　２点Ａ（３），Ｂ（７）を結ぶ線分ＡＢを２：１に内分する点Ｐの座標は？ 　　　また、中点Mの座標は？

　解答

　　　　中点Mの座標は５
　

問２　２点Ａ（-2），Ｂ（5）を結ぶ線分ＡＢを1：3に内分する点Qの座標qは

　解答　
　　　　中点Mの座標は３/２


　■外分点の座標

下の図のように線分AB上の延長上に点Pがあって 　　AP : PB＝３：１であるとき、点Pは線分ABを３：１に外分するといいます。 　　　　　 　線分ABを１：３に外分する点Qは下の図のようになります。 　　　　　　 　線分ABをｍ：ｎに外分する際、次のように考えると分かりやすいでしょう。   ｍ＞ｎ　(例 ３：１)   ｍ＜ｎ(例 １：３)

　しっかり理解しておいてください。
　　

■外分点の座標

２点A(ａ),B(ｂ)を結ぶ線分ABをm：nに外分する点の座標Xは、内分と同様に求めると、 　　　　　　　　となります。　※内分の式ｎに－がつきますね。

　答　X＝(－1×1)+ (3×5) / (３－１）=7
　　　　　右図参照　　　　　　　　　　

　答
　　図を書いてもOKですが、うまくいかない場合は公式を使ったほうが早いですね。

　　　　2：1をｍ(2), ｎ(1) 、２点A(1), B(5)をa(1), b(5)
　　　　公式　　から

　　　　　　P＝｛(－1)×1 + (2×５)｝÷（2－1）= 9　…答

　　１：２をｍ(1), ｎ(2) 、２点A(1), B(5)をa(1),b(5)
　　　 Q=｛(－2)×1 + (1×５)｝÷（1－2）= －3　…答

　図だったら以下の通り
　　　
　　　　　　　２：１　　　　　　　　　　　　　　　　１：２

問２　次の２点A, Bを結ぶ線分ABを２：３に外分する点Pを図示しなさい。 　　また３：２に外分する点Qの座標Xを求めなさい。

解答　Aからの距離が2で，Bからの距離が3になる点。外分する点はAの外側
　　　　　m=2, n=3
　　　P＝｛(－3)×0 + (2×1)｝÷（2－3）= －２　…答
　　　　　　　－２

　　　　３：２に外分する点Q　　　３…答

　　　　　　　　　　　☝

問３　次の２点A, Bを結ぶ線分ABを３：１に外分する点Pを図示しなさい

　まず、公式を用いましょう。
　　　　　　　m＝３，n＝１　a＝－２，ｂ＝２

　　　　P＝｛(－1)×(－2) + (3×2)｝÷（3－1）= 4　…答
　図で考えてみましょう
　　線分ABを3:1に外分する点は，Bの外側にあります．
　　次に，外分比は比率なので，実際のAB間の距離に応じて長さを考えます．
　　この問題では，AB間の距離が4だから，3:1=6:2として，Aからの距離が6で，Bからの距離が2になる点になります
　　
　　　　 　　 4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ☝
　　　　　この問題では，AB=4だからm−n=4, m:n=3:1となるようにします

　
　　　第１象限、第２象限など象限を覚えていますか。
　　　

答　√5

答　　５

答　５　　　√17

■平面上の内分

■平面上の外分

■重心
　　

Gが重心のとき 　AG:GP＝２：１ 　BP＝CP

　解説　△ABDは△ABCの面積の半分　さらに重心Gは線分ADを２：１に分けるため
　　　　△ADBと△GDBの面積比は３：１になることから、△BGDと△ABCの面積比は１：６
　　　　　　　１：６　…答

　答　Ｇ(３、１)

　

　　直線を表す式について学び、傾きや直線上の点の座標から式を求めます。
　　中学でも学習しましたが、ここではもっとスマートに解く方法を学びます。

　　　yの変化量 /xの変化量　＝変化の割合＝ 傾き

　　交点の座標（２,３）

　中学で学習したやり方
　　y＝－４x＋bとおく。

　　点（２，−５）を通るので、－５＝－８＋b　　b＝３
　　よって y＝－４x＋３…答

　今回学習するやりかた　y＋５＝－４(xー２)　　　y＝－４x＋３　答

　答　　y＋１＝２（x−２)　　　　y＝２x−５

　答　　x＋y−４＝０…①　　
　　　２x−y＋１＝０…②　　①と②を足すとx＝１，y＝３　(１，３)

　　よって、点(１，３)と点(−２，１)を通る直線であることが分かる。
　　　　
　　　　

◆２直線の平行

　答　y−１＝－２(x−３)　　よって　y ＝－２x＋７

　答　x＋y＋３＝０　から　y＝−x−３で、傾きは−１　
　　　点(２,−１)を通る直線なので、
　　　　　y＋１＝−(x−２）　　から　y＝－x＋１（答）

◆２直線の垂直

　　　求める垂直な直線の傾きをmとおく。
　　　３m＝−１　m＝−

　　求める垂直な直線の傾きをｍとおく。
　　　−２m＝－１　　m＝

問３　(1)点(３,１)を通り、直線y＝－２x＋５に垂直な直線の方程式を求めよ 　　　(2)点(４,１)を通り、直線y＝x−１に垂直な直線の方程式を求めよ

　　　(1) 求める直線の傾きをmとおく　−２m＝－１　　　　m＝
　　　　　y−１＝（x−３）　　よって、y＝x−

　　(2) 求める直線の傾きをmとおく　m＝－１　　　m＝−３
　　　　　y−１＝−３(x−４）　　よって、y＝－３x＋１３

　　ｙ＝－２x−４　求める直線の傾きをmとおく　−２m＝－１よって　m＝
　　　　　y−１＝(x−４）　　よって、y＝x−１

　証明）　２x＋y−６＝０の方程式は　y＝−２x＋６
　　　　　x−２y＋２＝０の方程式は　y＝x+１　で表せる。
　　　　　このとき２直線の傾きは、　(−２)×＝－１
　　　　　　　よって、この２直線は垂直である。


■点と直線の距離
　　

　　y＝２x　に直角な式はｙ＝ x ＋bで表せる。この式は(３，１)を通るので、

　　　　１＝＋b　よってb＝　　よって式は、y＝ x ＋

　　　y＝２xと y＝ x ＋　の共有点は(１，２)　なので、３平方の定理から　答は√5

※公式を使う解き方もあります。

　　　　　　　

２節　円の方程式
　　　　

原点Ｏを中心とする半径ｒの円の方程式は 　　　　で表します。 　　　　例えば半径が１のときx２＋y２＝１ 　　　　　中心はＯ(０,０)

　中心が(ａ,ｂ)、半径ｒの円の方程式は、

　　　　　　のように表します。

左図の円の中心(ａ，ｂ)、半径を１としたら、円の方程式は 　　　　　　　(x－１)２+{y－(－２)}２＝１ 　　　　　　　　　　　　(x－１)２+(y+２)}２＝１となります。 　　　　　　　　　　　 　また、円の半径を３としたら、(x－１)２+(y+２)２＝９

　解説
　　　方程式(x＋２)^２+(y－１)^２＝１０は
　　　{(x−(−２)}^２+(y－１)^２＝√10 と変形できるので、この方程式が表す
　　　　円の中心の座標は(−２,１)　　半径は√10 である。

　　　中心をＣとすると、点Ｃは線分ＡＢの中点であるから、

　　　　　　　　　，　　　よってＣ(３，４)

　　　　　半径はＣＡ＝　＝√8 = 2√2

　　　　したがって、求める円の方程式は点(３，４)を中心とする半径 2√2 の円であるから、
　　　　(x−３)² + (y−4)² = (2√2)² より　　　　(x−３)² ＋ (y−4)² =８　…答

　　式を次のように変形すると、
　　　x^２−２x＋y^２＋８y＝−8
　　(x−１)^２−１＋（y＋４)^２−16＝−8
　　(x−１)^２＋(y＋４)^２＝９　より　中心の座標(１，−４)　半径３

答　点(１,２) を中心とする円なので、
　　　(x−１)^２＋(y−２)^２＝ r^２　点(４,−３)を通るので
　　　９＋２５＝r^２　　 r^２=34　なので 　(x−１)^２+(y−２)^２=34

▲ x^２＋y^２＋lx+my+n =0　式

　次のように変形しよう。
　　(x^２−２x)＋(y^２+８y)＝ −８
　　　(x−１)^２−１＋(y+４)^２−16＝−８
　　(x−１)^２＋(y+４)^２＝９　よって、中心の座標は(１,−４)　半径は３

　与えられた点の座標を x^２＋y^２＋lx+ my+ n =0　とおく。
　点A(２,−７)を通るから、 ４＋ 49＋2l−7m＋ n = 0
　　　　　2l−7m+ n=−53　…①　　同様に
　　　　　4l−3m+ n=−25　…②
　　　　　−5l　　+ n=−25　…③
　　　　　　①，②，③より　l ＝2,　　m＝６,　n＝−15
　　　　したがって、円の方程式は　x^２＋y^２＋２x+６y−15 =0

　共有点、つまり円と直線が交わる点だから、連立方程式ですぐに導きだせるね。

(1)　　x２+y２＝２…① 　　　　y＝x　　　…②　　より　 　　　　　　　(１，１)と (−１,−１)　　　右図
(2)　　x２+y２＝２…① 　　　　　　y＝x−２…②　　　より　 　　　　　　　　(１，−１) 　　　　　　※円と直線y＝x−２は１点で接します。

■共有点の個数
　上の例題ではグラフから分かるように　(１)は共有点が２個、（２）は１個ですね。
　ここでは共有点の個数について考えてみることにする。

　　２x^２+６x＋７＝０　となり、 ルートの中は−２０＜０　となり
　実数解をもたない。虚数になる。これは共有点を持たない。


　つまり、２次方程式の判別式式　Ｄは
　　Ｄ＝−２０＜０　となり実数解をもたない。
　この場合、円と直線は共有点をもたない。


３節　不等式の表す領域

　　▲直線と領域

例　不等式ｙ＞x＋２　，ｙ＜x＋２の表す領域はどうだろうか

■連立不等式の表す領域

答　　　y≧−x　…①’
　　y≦２x＋４　…②’　　①’,②’より

　　　

・y軸に平行な直線 　　直線l をx＝aとしたとき 　　　(1) x>aのとき、領域は直線lの右側 　　　(2) x<aのとき、領域は直線lの左側 　　≧や≦のとき直線 y＝aも含みます。
・x軸に平行な直線の領域 　　　　直線l をy＝bとしたとき 　　　　(1) y>bのとき、領域は直線lの上側 　　　　(2) y>bのとき、領域は直線lの下側 　≧や≦のとき直線 y＝bを含みます。

　▲放物線と領域
　　　放物線をy=ax²+bx+cとしたとき
　　　　　　y>ax²+bx+cのとき
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　y＜ax²+bx+cのとき

　　　　　≧や≦のとき、放物線上の境界線を含みます。




　▲円と領域

領域 　　・円の内部 　　　　　x２＋y２< r２　 　　　　　　　　(x−a)２＋(y−b)２< r２　 　　・円の外部 　　　　　x２＋y２＞ r２ 　　　　　　　　(x−a)２＋(y−b)２＞ r２ 　＞，＜と≦，≧。境界線を含むかどうか、 　明示しましょう。

　　　① y＜x²+x−２　y＜(x＋２)(x−１) 　x <−２　x ＞ １…答
　　　　　②−２≦x≦１…答　　−２と１を含む。

▲テスト前の確認問題

　答　x−2y−１≧０を変形すると、2y≦x−１
　　　　
　　　　　　　　　　　　　

問２　以下の(　　　)内に適切な式や文字を入れなさい。 　　　　(②，③は左,右,上,下のいずれか) 　　不等式 y>x＋２の表す領域は、直線①(　　　　　)の 　　　②(　　　　側)であり、右の図の 　　　③(　　　　)側部分である。

　　　　　　　　　　　　　　境界含む

答
　　①y≦−２x＋３ ② x＜３

　③y≦−１ 　④ x²＋y²≧５

　⑤ y＜−x²＋2x　式をグラフ用に変形しよう

問５　下の図の斜線部分の領域を表す不等式(1), (2)を求めなさい。　 　　　　　(1)　境界含む　　　(2) 境界含まない

(1)　(x−２)²＋(y−3)²≦９　　　(2)　

　解答

① y≦−１　　　　② x²＋y²≧５　

③ y＜−x²＋2x　　　④ y≦−２x＋３

問７　下の図の領域を求めなさい。ただし、境界も含みます。

解説）まず、２本の直面の方程式を考えてみよう。
　　　　　青の直線　座標(−１,０)　と(0,−３)を通るから

　　　　　赤の直線　座標(０,１)　と(−１,０)を通るから

問８　下の図の領域を求めなさい。ただし、境界は含まない。

解説）　領域は、直線と円からなっています。

　　　　　　 　…答

中心が（１，２）で半径が４の円は、(x−1)²＋(y−2)²=16
円の内部を表す不等式だから　(x−1)²＋(y−2)²<16　…答

中心（７，０）、半径６の円