数学Ⅱ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　　１節　三角関数

　　　　　一年で学習したことを復習しよう。

　　下図を思いだしましょう‼

　　　　

　以下の表の穴埋めは、中間や期末テストに必ず出題されます。
　覚えておくように指導する学校がありますが、覚えるのは大変です。
　それにテストが終わってしばらくすると忘れている。
　できたら、自分で考えてほしい。　表の下に考え方を説明しよう。

下図の空白を埋めなさい。

角度(°)	30	45	60
sin
cos
tan

　以下のような簡単な図を書いてみよう。
　　　　　

応用問題　田中くんと吉田くんは木の高さを測ることにした。 　田中くんは真南から、吉田くんは真東から図ると、田中くんは　木の頂点の仰角は30°吉田くんは45°だった。 　また、二人の離れた距離は25m, 　木の高さをhメートルとして、hの値を求めなさい。 　ただし、地上から目線までの高さは考慮しないこととする。

解説
　田中くんは　木の頂点の仰角は30°だから　tan30°= h/AC= 　AC=√3 h …①
　吉田くんは　木の頂点の仰角は45°だから　tan45°= h/BC = 1　　BC =h …②
　　　また、二人の距離は50ｍだから、三平方の定理より、
　　　　　AC²＋BC²＝50²＝2500　①，②を代入して、3 h²+ h²=2500　h²=625
　　　　　h>0 なので　h=25　　　　　25m …答



　　sin120°, sin135°,cos120°の値はどうだろう。

sinθ, cosθ, tanθの値の正負はθがどの象限の角であるかによって定まり、以下に図示します。 　このあと学ぶグラフと両方使うことで、問題の取り組みも楽になるでしょう。 　　sinθ　　　　cosθ　　 　tanθ

(１)　２１０°
　　　　210°は(180°＋ 30°)
　

第３象限に３０°の三角形ができます。第３象限の sin, cos,tan　の正負は？

　sin30°、cos30°、 tan30°は
　　sin30°=、　　cos30°=、 　tan30°= 　

(２)　－２２５°
　　　　　45°で考えてみよう

　sin45°、cos45°、 tan45°は
　sin45°= 、　cos45°=、　 tan45°=１

　45°は第２象限なので、
　　
　　　sin−225°=、　　cos−225°=ー 、　 tan−225°＝-1


以下のような６つの公式がありますが、三角関数は公式が多く、覚えるのも大変ですので
上の例では図で考えてみました。

　　0°≦θ≦90°のとき、以下の公式が成り立つ。
　

　　公式を覚えるのは大変。できたら図で解決することを勧めます。

　答
　　(1) sin150°=　 　　(2) sin135°=　　　(3) cos150°=　－
　　(4) cos135°= - 　　(5) sin120°=　　(6) cos120°=－


　　以下の公式①．②は非常に大切です。しっかり覚えておこう。

sin2θ+cos2θ=1　……公式① 　　tanθ=　……　公式②

証明にはなりませんが、公式①を実際の角度（30°)で確認してみましょう。 　　sinθ=　cosθ=　　ですね。それぞれを２乗すると、 　sin2θ=，cos2θ= で、 　　　　sin2θ+cos2θ=1　になります。 　同様に角度（45°)でも　()2＋()2=1

　　sin²θ+cos²θ=1　より

　　　　　sin²θ=1−cos²θ　sin²θ=1−=
　　　　　0°≦θ≦180°で　cosθ＞０なので第2象限になります
　　　　sinθ＞０　tanθ＜０
　　　sinθ=±
　　　　　　0°≦θ≦１８０°なので　sinθ＝　　…答
　　　tanθ＝　より　÷＝√3　…答

1)　tan²θ＝(－2)²=4　　 (2)公式 1+tan²θ＝1/cos²θより 1/cos²θ=1+(－2)²＝５
(3)cos²θ=1/5 　　0°≦θ≦180°で、tanθ=マイナスだからθは第２象限
　　　　 cosθ=－1/√5
(4)sinθ=tanθ×cosθ=2/√5

0°≦θ≦180°で　cosθ＞０なので第2象限になります。sinθ＞０　tanθ＜０

　sin²θ+cos²θ=1　より

　　　　　　sin²θ=1−　sinθ=±　
　　　0°≦θ≦１８０°なので　sinθ= 　…答
　　　公式　tanθ= より　÷＝－１　…答

問３　0°≦θ≦180°とする。 　　cosθ= のとき、sinθtanθの値を求めなさい。

解説　0°≦θ≦180°でcosθ>0 だから第１象限になります。
　　　sinθtanθ=sinθ× ＝

　　　sin²θ+cos²θ=1　　cosθ= を代入　　

　　　sin²θ＝１−＝　　　よって　sinθtanθ=

　　sinθtanθ=÷= 　…答

問４　角度θが鋭角で、cosθ=のとき、sinθとtanθの値を求めなさい。

　　sin²θ+cos²θ=1　より　　第１象限

　　　sin²θ=1−cos²θ=1−()

　　　　sinθ= ±　Aは鋭角だからsinθ= …答

　　　tanθ=より　tanθ=÷＝　　…答

　　sin²θ+cos²θ=1　より　　　第３象限の角だから　sinθ<0　tanθ>0

　　　sin²θ=1−cos²θ=1−(9/25)=16/25
　　　　(θが第３象限の角なので　sinθ＜0)
　　　　よって　sinθ＝－4/5　　tanθ＝ =4/3

問６　0°≦θ≦180°とする。 　　cosθ=－のとき、sinθとtanθの値を求めなさい。

解説　右図参照　0°≦θ≦180°でcosθ＜０なので、第2象限になります。よってsinθ>0, tanθ<0 　三平方の定理より１2+y2= 32　　　　　y=2√2　図より 　　　sinθ=2√2/3　　tanθ= －2√2

別解
　　sin²θ+(1/9)=1 　　sin²θ=8/9
　sinθ>0なので　sinθ=2√2/3

問７　sinθ+cosθ=のとき、sinθcosθの値を求めなさい。

　（x+y)²=x²+2xy+y²を利用しよう。

　問いの sinθ+cosθ=の両辺を２乗します。
　　　(sinθ+cosθ)²= ()²
　　　　sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ＝1/4
　　　　公式　sin²θ+cos²θ=1を使って　
　　　　　　2sinθcosθ=(1/4−1)＝－(3/4)
　　　　　　sinθcosθ=－(3/8)

　　第４象限の角だからsinθ<0 , cosθ>0
　公式をすべて使ってもいいですが、全部覚えるのは大変。そこで、
　　公式　tanθ＝より,両辺を２乗して、
　　　tan²θ=sin²θ/cos²θ　　　(－２)²＝(１－cos²θ) / cos²θ
　　　４＝(１－cos²θ) / cos²θ　　１－cos²θ＝4cos²θ
　　　　　5cos²θ=1　第４象限だから　cosθ＝1/√5　cosθ＝√5/5
　　　　　tanθ＝より
　　　　　sinθ=tanθ×cosθ＝(－２)×(1/√5)=－2√5/5
　　　　　　　　絵をかいて三平方の定理を使ってもいいね。

問９　０°≦θ≦180°のとき、sinθ=を満たす角θを求めよ。

　　

　sinθ＝だから１象限と２象限、　まずθ=30°
　　　０°≦θ≦１８０°　なので、上の図からθ=150°も
　　　　　　答　θ=30°,150°…答


■三角関数のグラフ

　　sinθ、cosθ、tanθのグラフは以下のようになります。
　　　　※　１８０°=πラジアン（弧度法）　３６０°=２π ラジアン

　ｙ = sinθのグラフ　　（θは角度）
　　
　ｙ = cosθのグラフ　（θは角度）
　　　

　ｙ = tanθのグラフ

　　（θの値が90°に近づくと、直線θ=90°に限りなく近づいていく。
　　このとき、θ=90°をグラフの漸近線（ぜんきんせん）といいます。
　　　　　

　　３つのグラフは手書きで簡単に描けるようになりましょう。

下図の空白を埋めなさい。

答　

角度(°)	0	30	45	60	90	120	135	150	180
sin	0				1				0
cos	1				0	－	－	－	－１
tan	0		１	√3	－	－√3	－１	－	0

角度(°)	180	210	225	240	270	300	315	330	360
sin	0	－	－	－	－１	－	－	－	0
cos	－１	－	－	－	0				１
tan	0		１	√3	－	－√3	－１	－	0

☆☆ 鋭角の三角関数に帰着するとよいです。

225° = 180° + 45° だから、
sin225°= sin(180°+ 45°) で考える。
よって、sin225° = －

▲弧度法を使って弧の長さl や 面積sを求めてみよう。

　　　弧度法　180°=πラジアン
　　　　　弧の長さの比と中心角の比は等しいので、次の式が成り立つ。
　　　　　l : 2πr = θ: 2π (左辺：弧の長さ比　右辺：角度の比)
　　　　　　　　　　よって　2πl=2πrθ 　l=rθ
　　　　　　面積の比と中心角の比は等しいので、次の式が成り立つ。
　　　　　　　　　S :πr² = θ : 2π　　　2πS=πr²θ　　　S=r²θ　

2/8

問　半径８㎝、中心角π のおうぎ形の 　　　① 弧の長さl は　　　② 面積S は

円周：2πr　　　面積：πr²
　　　① ６π㎝　　　② ２４π㎠

　　　2πr : l = 2π : π
　　円周の長さ比　　中心角(ラジアン)の比

解説　 仮に半径６㎝、角度４５°を考えてみましょう。 まず、円全体の弧の長さ、面積は 円全体 　弧の長さ：１２π㎝だから　１２π÷８＝3/4π㎝ 　面積：36π㎤　だから　36π÷８＝9/2π㎤

・扇形の弧の長さをlとする

　　全体の弧の長さ　2π×６ ： l = 2π：2/3π　　

　　　　4π（答）

・扇形の面積(Sとする)

　　全体の面積　π×36 ：Ｓ＝２π：2/3π

　　Ｓ=12π・・・（答）


正弦定理　　1年の復習

　




　以下に説明します。

　

　 まず、図形を簡単に書いてみよう。

ＡＣの長さ=b　とおく 　公式から　　　（AC=b） 　bsin45°=4sin60°(sin45=， sin60°=） 　　 　　　　　　b= 2√６　…答 　また、外接円の半径は　　から 　　　　　R=　2√2　　…答

　解答　簡単に絵を描き,与えられたデータを図に書きこもう。
　　　　　　　

　　　R＝６，ｂ＝６√2
　

▲余弦定理

　　
　

　角度や長さを多少、気使いながらまず簡単な図を書きましょう。

角度が１つ、辺の長さが２つ分かっているので余弦定理を使います。 　（）2＝３2＋x2－2・3・x・cos60° 　１３＝９＋x2－６x・ 　x2－３x－４＝０　　乗法の公式を使って 　　（x＋１)(xー４)＝０　x＞０　なので　x=４

問１ 　 　　簡単な図を書こう。正弦定理を使おうとしても、aの値が未知なので、 　　余弦定理を用います。 2/10 問２

問３ 　　 問４

▲円の接線と弦の作る角
　円の弦と、その弦の一端を通る接線のつくる角は、
　その角の内部にある弧の円周角と等しい（接弦定理）
　　　

問　角度A＝90°∠ｘ の大きさを求めよ。

　　　
　答
　　　　∠X＝１８０°- (90°＋ 55°) ＝ ３５°

方べきの定理

円の２つの弦AB,CDの交点（図１）、または、それらの延長の交点（図２）をPとすると、 　　　PA×PB＝PC×PD　が成り立ちます。 　　　　　　図１　　　　　　　　　　　　図２ 　　　　　　 　このことは円と直線の交点に作られる２組の三角形が、それぞれ相似であることから証明できます。 　 　　　　図３ 　どちらも弧AC、BDの円周角で∠A＝∠C、∠B＝∠Dから相似

問１　下の図において、PC=4, CD=5,AB=9のときPAの値を求めよ。 　　　x

　PA = x　とおく。
　方べきの定理より、４・(４＋５)＝ x・(x＋９）より、
　x² + ９x = ３６　　x² + ９x －３６ = ０
　乗法の公式より、（x －３)(x＋１２)
　x＞０だから　　x = ３　・・・答

　　検証してみよう　AP=３なら
　　３・（３＋９）＝３６　４・（４＋５）＝３６　でOK！　

問２　下の図において、xの値を求めよ

　方べきの定理より、３・（３＋８）＝x（x＋４）より、
　　x² + 4x – 33 = 0　x＝－２±√37
　　　解の公式より、x＞０だから　　x = －2 + √37・・・答

三角形の面積を求める
　△ＡＢＣの２組の辺とその間の角度が分かれば三角形の面積が求められます。
　　公式は１つ覚えれば十分です
　　

　　　

以下の証明では、角度Ｂが分かっているときを例にとります。

　

▲加法定理
　　sin,cosの加法定理　
　　　　sin(α＋β)=sinαcosβ+cosαsinβ
　　　　sin(α−β)=sinαcosβ－cosαsinβ
　　　　cos(α＋β)=cosαcosβ−sinαsinβ
　　　　cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ

　　sin15°= sin(60°−45°)　
　　　 (sin60°×cos45°)－(cos60°×sin45°)

　　　　＝(√6－√2)/4　　…答
　　別解
　　　　　　sin(４５°−３０°) = sin45°×cos30°−cos45°×sin30°

問　以下の値を求めよ。 　　　①　sin75°　　②　cos75°　　③ cos　　　④　sinπ

答　①(√6＋√2)/4　　　　②(√6－√2)/4
　　③　cos15°=cos(45−30)＝cos45cos30+sin45sin30＝ (√2+√6)/4
　　④　sinπ＝sin165°＝sin(120+45)=sin120cos45+cos120sin45=(√2－√6)/4

▲２倍角の公式　

　公式をすべて覚えなくても、以下、加法定理や他の公式から導きだせます。

　証明　sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα

　証明　cos2α=cos(α+α)=cosαcosα－sinαsinα=cos²α－sin²α

　　sin²α+cos²α＝１より　　cos²α＝1－sin²α
　 左辺　cos²α－sin²α=(1－sin²α)－sin²α=1－2sin²α

　　sin²α+cos²α＝１より　sin²α＝1－cos²α　

　　左辺　cos²α－sin²α＝cos²α－(1－cos²α)=2cos²α－1

▲三角関数の合成の応用

　y＝sinθ+√3cosθ=2(sinθ+cosθ)
　　=cos　=sin より　√4=2
　2(sinθ+cosθ)＝2(sinθcos+cosθsin)
　=2sin(θ+) 　　　y＝2sin(θ+)
　－1≦sin(θ+)≦1 だから　の最大値は２　最小値は－２　

　√3sinθ－cosθ＝1　左辺を合成すると、
　√3sinθ－cosθ＝２(sinθ－cosθ)　　=cos ,=sin　だから
　＝２(sinθ－)　　　よって　２(sinθ－)＝１　sinθ－＝
　　　　
0≦θ≦2πより，－≦θ－＜ (右図)
　でプラスなので１,２象限となり　θ＝，π　…答

ツール

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