微分・積分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[数Ⅱ目次] に戻る
　 　１節　微分係数と導関数
　 　２節　関数の値の変化
　 　３節　積分法　　　

■微分・積分って、なーに？　　

※グリーンで記述した個所は物理で学習するので、あくまで参考にしてください。 距離を時間で限りなく０に近づける（微分する）と速度、 　　s＝v×t　　　　　s：距離　　ｖ：　　　t：時間 　　　　s'=v　（参考） 速度を時間で限りなく０に近づけると加速度になります。 　・速度と時間に関する公式 　　v＝v₀+at　　（参考） 　　v：加速した後の速度 　　v₀：加速する前の速度（初速） 　　a：加速度（単位はm/s²)　 t：時間（単位は秒） 　・距離と時間に関する公式） 　　x＝v₀t+at2 　　x：距離 　v₀：加速する前の速度（初速） 　　a：加速度（単位　m/s²) 　t：時間（単位　秒） 反対に、加速度を時間で積分すると速度、速度を時間で積分すると距離になります。 微分と積分はそれぞれ逆の操作になっていて、微分と積分の関係でつながっています。この「時間」の部分を限りなくゼロに近づけた状態まで取り扱うのが微分と積分です。 　他に球の体積V=４/３πｒ3を半径ｒで微分すると V’=４πr２で、 同じ半径の面積の円が４つできますし、 　さらに、面積Ｓ=πr2　を半径rで微分すると、その円の円周の長さ（２πr）になります。 　微積分は日常の生活の中で、各分野で使われています。

　それでは微分から学習していきましょう。
　まず、関数を表す記号から覚えましょう。

　y = ２x＋１やy = x²　のようにy がxの関数であることを、
y =f (x)　のように表します。　

　関数　y =f(x)において、 f(x)の式に　x = aを代入して
得られるyの値を y = f (a)　で表します。

　分かりにくいので実際に例題をやってみましょう。

　例　関数 f (x) =x²+２xにおいて、f(3)のとき、
　　　　f(3) = ３²＋２×３ =１５になります。
　　　　f(−1) = (－１)²＋２×(－1) = －1　です。

■平均変化率

一般に,関数 y=f(x)において、xの値がaからbまで変化するとき 　xの変化量は　b−a 　yの変化量は　f(b)−f(a)である。 　このとき 　　　　を、xの値がaからbまで変化するときの平均変化率という。 　この値は曲線 y=f(x)上の2点 (a , f(a)), (b , f(b))を通る直線の傾きに等しい。（右図）

例題 　関数 f(x)＝x2 において、xの値が１から３まで変化するときの平均変化率を求めてみよう 　　　　　　　　＝４ それでは、以下の問いに答えなさい。 問　関数 f(x) = ２x2−３について以下の問いに答えよ。 　(1) x=２ から x=4 まで変化するときの平均変化率を求めなさい。 　(2) x=２から x=２+h まで変化するときの平均変化率を求めなさい。

答
　(1)　関数 f(x) = 2x²−3
　　x=2から x=4 まで変化するときの平均変化率を求めなさい
　　　　x=2のとき
　　　　　f(２) = 2・２²−3= ５
　　　 x=4のとき
　　　　　　　　f(４) = 2・４²−3= 29　　表にすると、

　　平均変化率は　＝１２…答

　(2)関数 f(x) = 2x²−3
　　x=2から x=2+h までの平均変化率を求めなさい。
　　　x=2のとき
　　　　　f (２)=2・２²−3= ５
　　　x=2+hのとき
　　　　　　　f (2+h)= 2・(2+h)²−3 =
　　　　　８+8h+2h²−3 = ２h²+８h+５
　　平均変化率は　＝2h+8…答

答
　（１）　x　の変化量　h−１
　　　　y　の変化量
　　　　　　x　＝２のとき　　７
　　　　　　x　＝１＋ｈのとき　 f(１＋h)＝２(１＋h)²−１
　　　
平均変化率は　２(１＋h）²−１−７/(h−１)

　　２h²＋４h−６/(h−１)　２(h²＋2h−3)=2(h+3)(h−１)
　　　　　よって、2(h＋３)　…答

　　（２）　７＋h　…答

■微分係数

例１ (1) 関数 f (x) ＝x2 について 、x=１における微分係数を求めてみよう 　　x=１における微分係数 f' (1)は 　　 　　　　　=２…答 (2) 今度は、関数 f (x) ＝x2 について、 x=aにおける微分係数を求めてみよう。 　　 　　　　　２a …答

解説 f (x) ＝2x²−3
　まずx=２からx=２＋hにまでの平均変化率を考えましょう。
　　　x=２のとき
　　　　　f(2)=8−３＝５
　　　x=２＋hのとき
　　　　　　f(２＋h)=２(２+h)²−３＝２h²＋８h＋５

　　　　 x＝２　→２＋h
　　　　 f(x)＝５　→　２h²＋８h＋５より

　平均変化率は＝２h+８

よって、微分係数f'(2)はh→０に近づけたときとなるため、
　 f'(2) ＝＝８　よって　　　f(x)'＝８…答

　f (x)＝−x²+３x−５　(x=−１)
　　微分すると　　f '(x)＝−2x+3
　　したがって、x=−１における微分係数 f '(−1)は

　　　　f '(−１)=−２×(−1)+３＝５ …答

微分係数と導関数の違い

・微分係数 f '(a)は定数で、関数 y=f(x) 上の特定の点（x=aの接点）における接線の傾きです。 ・導関数 f '(x)は関数で、関数 y=f(x) 上のすべての点における接線の傾きをxの関数で表したものです。 　つまり、x=aにおける微分係数を求めるときは、f(x) を微分して、それにx=aを代入します。

　関数 f (x) =x² の導関数 f '(x)は次の式で定義されます。
　関数 f(x)の導関数 f '(x)は

　　　　　で表せます。

　上の導関数の定義の式においてhはxの変化量を表し，f (x+h)−f (x)は
　それにともなう変化量を表しています。
　これらをそれぞれxの増分, yの増分といい，それぞれ△x，△yで表します。
　　　　　　（△：デルタ）

　△x，△yを用いると
　　 f (x)の導関数　f '(x)は
　　　　と表せます。また、
　　 f '(x)の他にy',や
　　　△x, △y を用いて 　なども用いられます。

答
　①　f(x)＝２x＋５
　　　f '(x)＝

　　　＝２…答

　②　f (x)＝−x³
　　　　　　f '(x)＝

　　　　　　＝ −３x²…答

　公式としてはとても重要ですが、具体的な数で微分するのに慣れたあとで再度、
　微分する際、どこの数値がどのように変わっているかを見てください。
　実際の数値でやってみましょう。

　答
　　(1) y＝２x²−５x－１　　　　→　 y' ＝４x−５
　　(2) y＝x³+３x²－１　　　　　→　 y' ＝３x²+６x
　　(3) y＝−２x³+９x²－１２x＋５　　→ y' ＝−６x²+１８x－１２
　　(4) y＝x³−６x²+９x 　　　　　→　y'＝３x²−１２x + ９


さらに、微分は接線の傾きを求めるための計算でもあります。

　　　f ' (x)はその点における傾きであることを、以下のグラフで考えてみましょう。

接線の方程式 　関数 y = f (x) のグラフ上の点 (a , f(a)) における接線の方程式は y−f (a) = f ' (a) (x−a) に等しい。 　微分係数が曲線 y = f (x) 上の点 (a , f(a)) における接線の傾きであることを以下のグラフで確認しよう。 　 　h → 0： 増加hを限りなく０に近づけていく。下に lim (リミット)を使った公式を書いています。 参考まで）　同じことを符合を変えて再度説明しましょう。 　微分係数 f '(x) = は，曲線y= f '(x) 上の点(x, f '(x) における接線の傾きを表す。 　 　図からXの増加量がｈのとき、ｙの増加量はf (x+h)-f '(x)となります。このｈを限りなく０に近づけていくことにより、傾きを求めることができます。

　　f (x) = x² とおくと　f ' (x) = ２x
　　　x=１　f'(１) = ２　　　　接線の傾きは２になります。

次の極限値を求めてみよう。

　　答　　(1)　3　　　(2)　−２

　　f(x) = x² とおくと　f' (x) = ２x
　　　x=3　f'(3) = ６　　　　接線の傾きは６

　　 y = x² 上の点（３，９）における接線の方程式は
　　　　y－９ = ６(x－３）
　　したがって、y－９ = ６x－１８　　y－９ = ６(x－３）　y = ６x－９…答

　(1)　f (x) =２x² －５x－１　とおくと、　　f ' (x) = ４x－５　
　　　　f ' (2) = ４×２－５　= ３ … 接線の傾き

　　　 ｙ = ２x² －５x－１ 上の点（２，⊸３）における接線の方程式は
　　　　 ｙ＋３=３(x－２）　　ｙ = ３x－９　答

　(2)　f (x) =２x² －５x－１　とおくと、　　f ' (x) = ４x－５
　　　　　傾きが−１だから　４x－５= －１　４x=４　x=１
　　　　x=１のとき y=－４ 　(１,−４)における接線の方程式だから
　　　　　 y＋４ = －１(x－１）　　y = −x－３　答
　　(3)　f ' (x) = ４x－５より傾きが３だから,
　　　　　４x－５＝３　　x＝２　　　傾きが３の座標（２，－３)
　　　　　　　　 y＋３ = ３(x－２）　　y = ３x－９　答

　　f (x) =x²−4x＋1　とおく。　　f ' (x) = ２ｘ－４　
　　　　f ' (3) = ６－４　= ２ … 接線の傾き

　　　 y＝x²−4x＋1 上の点(3，−2)における接線の方程式は
　　　　 y−(−２）=２(x－３）　　y ＋２ = ２x－６ 　y = ２x－８

　答　(1) ｙ＝−２ｘ−１　　(2) ｙ＝９ｘ−７

答　(１)　ｙ＝２ｘ−１　ｙ＝−１０ｘ−１３　（２）　ｙ＝６ｘ−２

答　(1)　ｍ＝７　　　　(2)　ｙ＝７ｘ−６



■関数の極大・極小
　　極限値

　f ´ (x)はその点における傾きでしたね。再度、以下のグラフで考えてみましょう。

これより，f ´ (x) の符号が正から負，または負から正というように変化するとき，
極値をもつことがわかります。
　３次関数　y = ax³ のグラフは概ね以下のような曲線を描きます。
　　　　a＞０のとき　　　　　　　　　a＜０のとき　　　　　　　
　　

　例　関数 y＝x³−３x²＋２ の極値を求めてみよう。
　　a＞０　傾きが変化する点(座標)を求めてみよう。
　それには、まず微分する。　 y' ＝ ３x²−６x = ３x(x−２)
　　傾きがプラスからマイナス、マイナスからプラスに変化する点
　　　　 y´＝０は　x=０ ,２
　　　　　x＝０のとき極大になり、極大値は２
　　　　　x＝２のとき極小になり、極小値は−２
　　 y＝x³−３x²＋２　　　

解答
　(1)x=1のとき　極大値２

　(2)傾きが変化する点を求めましょう。
　　微分します。　 y'＝３x²＋６x = ３x(x＋２)
　　傾きがプラスからマイナス、マイナスからプラスに変化する点
　　　　 y'＝０は　 x =０と，−２　
　　　　　y＝ f (x) = x³＋3 x²−1
　　　 　f (−2)=−８＋12−１=３　 f (０)=−１　グラフ①より

x= −２のとき極大になり、極大値は３ 　x =０のとき極小になり、極小値は−１

　　(2)　y = −2x³＋9x²−12x+５
　　　　微分　y´＝−６x²＋１８x−１２ =－６(x²−３x＋２)=－６(x－２)(x－１)
　　　　　　傾きがプラスからマイナス、マイナスからプラスに変化する点
　　　　　y´＝０は　x＝１と，２

　　増減表

x … １ … ２ … y' － 0 ＋ 0 － y ⤵ 0 ⤴ 1  ⤵

　　y＝f (x) = −2x³＋9x²−12x＋5　f(１) =０　f(２) =１上のグラフ②より
　　　　　x= １のとき極小になり、極小値は０
　　　　　x= ２のとき極大になり、極大値は１

答 　y=x³−6x²+9x　y’=3x2−12x+9 　　=3(x2−4x+3)=3(x−１)(x−3) 以上からyの増減表は x … 1 … 3 … y' ＋ ０ − ０ ＋ y ⤴ ４ ⤵ ０ ⤴ 　x＝１のとき極大値４ 　x＝３のとき極小値０

a＞０のときは

　　　y’=3x²−６x =３x(x －２)

　　　x＝０，３のとき　最大値　１
　　　x　=－２　のとき　最小値　－１９

　　　　関数 f(x) は(1,5)を通るので　f’1)=5　　　－２+３a+b＝５　３a+b＝７…①
　　また、x＝１において極大値をとるので、f’(1)=０　f’(1)=－6x²＋6ax　－6＋6a=0…②
　　①、②より 　　a=1, b=4　　　　　　極小値４

　　　・x=1 のとき極大値 4 をとおる(1,4)のでf(1)=4がいえるので f(1)=4
　　　　　f(1)=1－6+a+b = a+b－５=４　　a+b－５=４　a+b=９　…②

　・y’=３x²−12x＋a　x=1 のとき極大値 4　だから
　　　　f’ (x)=0　より
　　　　　　f'(1)=３x²−12x＋a＝３－12＋a=0　　a=9 …③

　　　　②と③よりa=9，b=0

　　　　y=x³−6x²+9x　 の極小値は　 y’=３x²−12x＋９＝３(x²−4x＋3)＝３(x−3)(x－１)
　　　　　グラフイメージから　x＝３のとき極小値　y＝２７－５４＋２７＋０＝０

　箱の底面の一辺　(12－２x)㎝ 、高さはx㎝だから、

　箱の容量はx(12－２x)²= 144x－48x²＋４x³=４x³－48x²+144x

　箱の容量をyとおく　　y=４x³－48x²+144x

　 y'=12x²－96x+144= 12(x²－8x+12)=12(x－6)(x－２)
　　　x＝２．６　　　ただし0<x<6

　　　　x=2cm

答
　(1) 底面の半径　x㎝＋高さ＝１２ｃｍより　　高さ(１２－x)㎝
　(2) y = (12－x)πx²＝１２πx²－πx³=－πx³+12πx²

　(3)　y=－πx³+１２πx<sup>2

　　y’=－3πx2+24π=－3πx(x－8)
　　　　x=0,8　(0<x<12)　x=8のとき　y=256π㎤</sup>

練習 　母線の長さ５㎝,半径３㎝の直円錐の体積を求めてみよう

　高さをhとおくと　三平方の定理から　9+h²=25　h²=２５－９＝１６　h=４
　よって、　　V＝π×９×４＝１２π㎤

問 　右図のような母線の長さ９㎝の直円錐の体積を最大にするには、高さをいくらにすればよいか。

解説＆答

半径をrとおくと　三平方の定理から　x2＋r2=81　r2=81－x2 　体積をｙ㎤とおくと，ｙ＝×π(81－x2)×x 　　＝×(81πx－πx3)=－πx3+27πx 　　y'=－πx2+27π=－π(x2－27)　　x=±3√3　右図より 　　　　x＝3√3㎤　…答

▲方程式、不等式への応用

　　方程式の解の個数

解答
　x³−6x²+a = 0が異なる3つの実数解をもてばよい。つまり、
　　y=aとy=−x³+6x²が異なる3点で交わればよい
　　　f(x)=−x³+6x²とおくと
　　　f '(x)=−3x²+12x= −3x(x−4)
　　　　x=0で極小値f(0)=0
　　　　x=4で極大値f(4)=-64+96=32
　　 y=aとy=f(x)のグラフを考えて　0<a<32

解答
　y=x³−6x²+9x+1
　　y’=3x²−１２x＋９ = ３(x−1)(x−３)
　　　y’=０より x＝１，３

　増減表または、以下のような簡単なグラフを書いて求めよう。
　　y｜ ↗ ↘ ↗
　　 　　１ ３
　　x＝１で極大値, x＝３で極小値であることがわかる。
　　　　y(1)=５ 極大値　　y(3)=１ 極小値
　　　　k>5, y=5 と1点で交わる 即ち1個
　　　　ｋ＝５ 同じように考え 2個
　　　　1<k<5 3個　　k=1 　2個　　k<1 　1個