３章　：三角比

　　三角比も建築、土木、化学、測量、通信（音声デジタル変換）等、多くの分野で使われています。

問　次の値を求めなさい。
　　sin30°　　cos30°　　tan30°　sin60°cos60°tan60°　sin45°cos45°tan45°

　上の問題解答をよく見てください。
　　　sinA=cosB 　cosA=sinB 　tanAは逆数になることがわかります。
　　つまり　sin(90°-A) = cosA になります。同様に、
　　cos(90°−A) = sinA 　　(90°−A) は角度Bですから

　　　０°≦θ≦90°の範囲で
　
　　　
　以下の表の穴埋めは、中間や期末テストに必ず出題されます。覚えておくように指導する学校がありますが、
　覚えるのは大変だ。それにテストが終わってしばらくすると忘れている。
　できたら、自分で考えてほしい。　表の下に考え方を説明しよう。

　

　　それでは以下の残りの角度は？

　　　　　

　　　グラフで考えてみましょう。
　　　グラフは２年で学習しますが、これはいま覚えていたほうがbetterだと思います。

　ｙ = sinθのグラフ　　（θは角度）
　　
　ｙ = cosθのグラフ　（θは角度）
　　　

　tanθグラフは参考まで
　　　　　　　　　　　　　　　　

それでは以下の問題をやってみましょう。

　
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解答

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　　以下は大切な公式。しっかり覚えておこう。

　sin²θ+cos²θ=1　……公式①

　　tanθ=

　……　公式②

sinθ=

　cosθ=

　　ですね。それぞれを２乗すると、
sin²θ=

，cos²θ=

で、

　になりますね。

問１　0°≦θ≦１８０°とする。
　　cosθ= のとき、sinθの値を求めなさい。

　　　より

　　　　　sin²θ=1−cos²θ　sin²θ=1−=
　　　sinθ=±
　　　　　　0°≦θ≦１８０°なので　sinθ＝　　…答

問２　0°≦θ≦１８０°とする。

　　cosθ= のとき、sinθとtanθの値を求めなさい。

　　より

　　　　　sin²θ=1−　sinθ=±　
　　　0°≦θ≦１８０°なので　sinθ= 　…答
　　公式　tanθ= より　÷＝１　…答

問３　0°≦θ≦１８０°とする。
　　cosθ=

のとき、sinθtanθの値を求めなさい。

解説　sinθtanθ=sinθ× ＝

　　　　　cosθ= を代入　　

　　　sin²θ＝１−＝　　　　sinθtanθ= 　だから

　　sinθtanθ=÷= 　…答

問４　0°≦θ≦１８０°とする。
　　sinθ=

を満たす角θを求めなさい。

答
　sinθ=

だから、単純にθの値は３０°
　しかし、0°≦θ≦90°で　90°≦θ≦180°(第2象限)を考慮する必要があります。
　sinθの第2象限は＋でしたね。
　右図から、180°−30°＝150°
　　　　　　答）30°,150°

問５　角度Aが鋭角で、cosθ=

のとき、sinθ,tanθの値を求めなさい。

　　より

　　sin²θ=1−cos²θ=1−()

　　　　sinθ= ±　Aは鋭角だからsinθ= …答

　　　tanθ=より　tanθ=÷＝　　…答

■正弦定理

　＝＝　　

　　上の公式は必ず覚えよう。以下に一例をとって説明します。

　　が成り立ちます。

以下、証明してみよう

証明

Ⅰ　A＜９０°のとき(図Ⅰ)
　　　Bを通る直径をBDとする。直径の円周角は90°なので∠DCB＝90°
　　　　　等しい弧に対する円周角は等しいので∠BDC＝A
　　　　　a=２Rsin∠BDC＝２RsinA　よって

=2R　

Ⅱ　A＝９０°のとき(図Ⅱ)
　　　　　a＝２R，sin90°=１より
　　　　　a＝２R＝２Rsin90°=２RsinA よって

=2R

Ⅲ　A＞９０°のとき(図Ⅲ)
　　　Bを通る直径をBDとする。直径の円周角は９０°なので∠BDC=９０°
　　　円に内接する四角形の対角の和は180°なので∠BDC＝180°－A
　　　a=２Rsin(180 °－A)＝２RsinA　　よって　=2R

　　　　Ⅰ～Ⅲより=2R　　同様に=2R , =2R

　　　　　　　したがって　＝＝=2R

問１　三角形ＡＢＣにおいて、ＡＢ=４、Ａ=７５°、Ｂ=６０°のとき辺ＡＣの長さ、および外接円の半径を求めなさい。

解説

まず、以下のような図を簡単に書いてみよう。

公式から　　

　ＡＣの長さ=ｂ　で,
まずＡＣの長さを求めましょう。AC=b
　　bsin45°=4sin60°（sin45=１/√２， sin60°=√３/２）

　　

　答

　次に半径Ｒを求める。
　　外接円の半径は　

　から

　２Ｒ=４/sin45° Ｒ= ２/sin45°=　2√２　　答

問　ａ＝６，Ａ＝30°，Ｂ＝45°のとき，外接円の半径Ｒとｂを求めなさい。　　　

　　解答　簡単に絵を描いてみよう。
　　　

答
　

余弦定理

　　
　　

問１
　①　

問２
　　②　

　簡単な図を書きましょう。
　正弦定理を使おうとしても、aの値が未知なので、ここは余弦定理を用います。

問３
　　

問４
　　

　

円の接線と弦の作る角
　円の弦と、その弦の一端を通る接線のつくる角は、その角の内部にある弧の円周角と等しい（接弦定理）
　　　

問　∠x の大きさを求めよ。

　　　　　

　　　
　答
　∠x ＝１８０°- (90°＋ 55°)　＝３５°

方べきの定理

円の２つの弦AB,CDの交点（図１）、
または、それらの延長の交点（図２）をPとすると、
　PA×PB＝PC×PDが成り立つ。

　　　　　　図１　　　　　　　　　　　　図２
　

　このことは円と直線の交点に作られる２組の三角形が、それぞれ相似であることから証明できます。
　
　　

　　図１　どちらも弧AC、BDの円周角で∠A＝∠C、∠B＝∠Dから相似

問１　下の図において、PAの値を求めよ
　　　

　PC=4, CD=5,AB=9

　PA = ｘ　とおく。
　方べきの定理より、４・（４＋５）＝x・(x＋９）より、
　x² + ９x = ３６　　　x² + ９x ⊸ ３６ = ０
　乗法の公式より、（x ー３）（x ＋１２）
　ｘ＞０だから　　x = ３　・・・答

　　検証してみよう　AP=3なら
　　３・（３＋９）＝３６　４・（４＋５）＝３６　でOK！　

問２　下の図において、xの値を求めよ
　　　　　　

方べきの定理より、３・（３＋８）＝x ・（x ＋４）より、
　　　x ² + ４x − 33 = 0　
　　　　解の公式より、x ＞０だから　　x = -2 + √37・・・答

三角形の面積を求める
　△ＡＢＣの２組の辺とその間の角度が分かれば
　三角形の面積が求められます。
　　公式は１つ覚えれば十分です
　　

　　　

　証明　　角度Ｂが分かっているときを例にとります。

ツール：　　　　　

３章 ：三角比

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